Найдите значение выражения (x+y)^2+2x(3x-y) при х=1 , у=√2

Сначала упростим, а потом подставим x и y

(х+у)²+2x(3x-y)=x²+2xy+y²+6x²-2xy=x²+y²+6x²=7x²+y²
7x²+y² при х=1,у=√2
7·1²+(√2)²=7+2=9

1) Число корней квадратного уравнения можно определить при дискриминанта. Если D=0, то уравнение имеет один корень, если D>0, то уравнение имеет два корня, если D<0, то уравнение действительных корней не имеет.

а) 9х²+12х+4=0

D = 12²-4*9*4 = 144-144 = 0 = 0 ⇒ уравнение имеет один корень.

б) 2х²+3х-11=0

D = 3²-4*4*(-11) = 9+176 = 185 > 0 ⇒ уравнение имеет два корня.

2) а) х²-14+33=0

Уравнение приведенное, проще всего использовать теорему Виета.

х₁*х₂=33

х₁+х₂=14

Отсюда х₁=11, х₂=3

ответ: х₁=11, х₂=3

б) -3х²+10х-3=0

D = 10²-4*(-3)*(-3) = 100-36 = 64

ответ: х₁=1/3, х₂=3

в) х⁴-10х²+9=0

Биквадратное уравнение решим при замены.

х²=t

t²-10t+9=0

По теореме Виета:

t₁*t₂=9

t₁+t₂=10

t₁=9, t₂=1

Производим обратную замену.

х²=9 ⇒ х = ±√9 ⇒ х=±3

х²=1 ⇒ х = ±√1 ⇒ х=±1

ответ: х₁,₂ = ±3, х₃,₄ = ±1.

г) х²+10+22=0

D = 10²-4*1*22 = 100-88 = 12

ответ: х₁=-5+√3, х₂=-5-√3

д) х²-110х+216=0

По теореме Виета:

х₁*х₂=216

х₁+х₂=110

х₁ = 108, х₂ = 2

ответ: х₁ = 108, х₂ = 2

3) Пусть одна сторона прямоугольника равна х см. Вторая сторона на 9 см больше первой, поэтому она равна (х+9) см. Площадь прямоугольника 112 см² (по условию). Она находится как произведение смежных сторон прямоугольника.

Составляем уравнение.

х*(х+9) = 112

х²+9х-112 = 0

D = 9²+4*1*112 = 81+448 = 529

Длина отрицательной быть не может, поэтому нам подходит только один корень: 7

Длина одной стороны прямоугольника 7 см.

Длина второй стороны прямоугольника х+9=7+9=16 см.

ответ: 7 см, 16 см.

4)

ОДЗ: (5-х)(5+х)≠0 ⇒ х≠5, х≠-5.

х²+6х+5=0

По теореме Виета:

х₁*х₂=5

х₁+х₂=-6

х₁ = 5, х₂ = 1

х₁ = 5 - не удовлетворяет ОДЗ.

ответ: х=1

5) 4х²+рх+9=0

Квадратное уравнение имеет один корень, если дискриминант равен нулю. Найдем дискриминант и приравняем его к нулю. Затем решим получившееся уравнение и тем самым найдем значения р.

D = р²-4*4*9 = р²-144

р²-144 = 0

р²=144

р = ±√144

р= ±12

ответ: р= ±12

A₁ = 5, аn + 1= an + 3
a₂ = 5 + 3 = 8
d = 3
a₁₂ = 5 + 3(12-1) = 5 + 33 = 38
a₃₄ = 5 + 3(34-1) = 5 + 99 = 104

a₁ = 84, d = -5
a₃₇ = 84 - 5(37-1) = -96
a₆₀ = 84 - 5(60-1) = -211

-67; -60; -53...
а₁ = -67
d = 7
S₅₂ = 2a₁ + d(n-1)*n / 2 = 2*(-67) + 7(52-1)*52 / 2 = -134 + 18564 / 2 = 9215

an = 5n - 4
a₁ = 5*1 - 4 = 1
a₂ = 5*2 - 4 = 6
d = 5
S₁₅₀ = 2a₁ + d(n-1)*n / 2 = 2*1 + 5(150-1)*150 / 2 = 2 + 111750 / 2 = 55876

a₁ = 32, а₆₁ = -58
a₆₁ = 32 + d(61-1) = 32 + 60d
-58 = 32 + 60d
60d = -90
d = -1,5
-36 = 32 - 1,5(n-1)
-36 = 32 -1,5n + 1,5 
-36 = 33,5 - 1,5n
-69,5 = 1,5n 
n = -69,5/1,5 - не является

8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, 128, 136, 144, 152, 160, 168, 176, 184, 192, 200, 208, 216, 224, 232, 240, 248, 256, 264, 272, 280, 288, 296, 304, 312, 320, 328, 336, 344.
S = 7568