На олимпиаде 32% участников получили грамоты. сколько школьников приняло участие в олимпиаде, если наградили 416 человек

1266школьников было на

Надо понять, что логарифм- это показатель.
Для начала смотрим на основание 1/2  и  в правой части -1
1/2 -это основание, которое нужно возводить в степень.
-1 - это логарифм,т.е. показатель степени. Именно в этот показатель надо возвести основание.
Ну, а под знаком логарифма стоит число, которое получается после возведения в степень.
 log(x - 2)/( 1 - х)  больше (1/2)^-1 
 осн-е 3
 log(x - 2)/( 1 - х)  больше 2          ОДЗ х∈(1;2)
   осн-е 3
Снова те же рассуждения, только основание =3 , показатель= 2, а число, стоящее под знаком логарифма - это результат после возведения в степень.
( х - 2)/( 1 - х) больше 9
( х - 2)/(1 - х) - 9 больше 0
(х - 2 - 9 + 9х)/ 1 - х) больше 0
(10 х -11)/(1 - х) больше 0  Решаем методом интервалов.
10 х -11 = 0   х = 1,1
1 - х =0   х = 1
На числовой прямой ставим "дырками" числа 1 и 1,1
Вся числовая прямая разделилась на 3 интервала:
(- бесконечность; 1), (1; 1,1)  и ( 1,1 ; + бесконечность)
                  -                 +                 -
Проверяем знак дроби на каждом интервале
ответ: х∈(1; 1,1)

Система;

х + у = 8

0,4х + 0,3у = 0,08r

Из первого х = 8 - у, во второе:

3,2 - 0,4у + 0,3у = 0,08r

у = 32 - 0,8r

х = 0,8r - 24

Если первый слиток взять полностью, то 3 = 0,8r - 24

r = 33,75

Если второй слиток взять полностью, то 7 = 32 - 0,8r

r = 31,25

Если ни один слиток не брать полностью, то

31,25 < r < 33,75

ответ 31,25 <= r <= 33,75 (пусть он и напечатан) некорректен, так как при равенстве один из слитков берётся полностью, а в условиях - КУСКИ этих слитков. Кусок слитка не может быть самим слитком; он должен быть хотя бы чуть-чуть меньше.