Решить тригонометрические уравнения: 1) tg(3x+pi/2)=1 2) sin(в квадрате)x=1-cosx 3) cos2x-cosx=0 4) 4sin(в квадрате)x+5sinxcosx+cos(в квадрате)=0

1.простое тригонометрическое тождество
3x+pi/2=pi/4+pi*k,k-целое
3x=-pi/4+pi*k,k-целое
x=-pi/12+pi*k/3,k-целое
2.второе тоже несложное,просто нужно знать формулы
sin(в квадрате)x=1-cos2x/2
1-cos2x=2-2*cos2x
1-(cos(в квадрате)x+sin(в квадрате)x)=2-2cosx
1-1=2-2cosx=0
2=2cosx
cos x=1
x=2*pi*n,n-целое
3.cos2x-cosx=-2sin(x/2)*sin(3x/2)=0
sin (x/2)=0 или sin(3x/2)=0
x/2=pi*k,k-целое или 3x/2=pi*k,k-целое(совокупность)
x=2*pi*k,k-целое или x=2*pi*k/3,k-целое
4.тоже решается алгоритмом,довольно просто:делим всё на синус в квадрате или косинус(я предпочёл делить на косинус в квадрате),вот,что получается:
4tg(в квадрате)x+5tgx+1=0
заменяем:tgx=t
4t(в квадрате)+5t+1=0
D=9
t1=-5+3=-2
t2=-5-3=-8
возвращаемся к замене:
tgx=-2 или tgx=-8
x=-arctg2+pi*n,n-целое или x=-arctg8+pi*n,n-целое

Нули функции (-5; 0)  (-1; 0)  (4; 0)  (10; 0)

У>0 при х∈(-5, -1)  и при х∈(4, 10)

Объяснение:

а)Нули функции это точки пересечения графиком оси Ох, где у ВСЕГДА равен нулю.

Таких точек здесь 4, координаты: (-5; 0)  (-1; 0)  (4; 0)  (10; 0)

б)Если заменить слово "аргумент" на х, а "функция" на у, то понятно, что нужно определить, при каких значениях х  у>0.

На графике ясно видны эти отрезки, где функция выше оси Ох.

Таких отрезков 2: от -5 до -1  и от 4 до 10.

У>0 при х∈(-5, -1)  и при х∈(4, 10)

1.  

a)y=x/2-2  

График прямая линия.  

Таблица:  

х      -4      -3       0       1  

у      -4     -3,5     -2    -1,5  

б)y=|x/2-2|  

График две прямые линии, соединяются в точке (4; 0), как "птичка"  

Таблица:  

х       -4      -2      0      2      4       6       8  

у        4       3       2      1       0       1        2  

в)у=|x|/2-2  

График две прямые линии, соединяются в точке (0; -2), как "птичка"  

Таблица:  

х        -6       -4      -2       0        2      4      6  

у         1         0      -1       -2       -1       0      1  

2.  

а)у= -х²+2х+3  

График парабола со смещённым центром, ветви направлены вниз.  

Таблица:  

х       -2      -1       0       1        2      3       4  

у       -5       0      3       4       3       0      -5  

у>0 при -1 <= х <=3  

б)y=|-x²+2x+3|

График парабола с частью вершины, как бы отсечённой и направленной вверх, получается "выемка", ветви параболы также направлены вверх.

Таблица:

х       -3      -2      -1       0       1       2       3       4        5

у        12      5      0       3       4       3       0       5       12

в)у=|-x²+2|x|+3|

График парабола, только уже две "выемки" внизу, ветви параболы направлены вверх.

Таблица:

х      -5      -4      -3      -2     -1      0      1       2      3      4      5

у      12       5       0       3      4      3      4      3      0      5     12

4. Задача

х - га в день по норме

х+2 - га фактически

168га - по плану

182га - фактически

168/x - дней по плану

182/(х+2) - дней фактически

Разница в один день, уравнение:

168/x - 182/(х+2) = 1 Избавляемся от дробного выражения, общий знаменатель х(х+2):

168(х+2) - 182х=х²+2х

168х+336-182х-х²-2х=0

-х²-16х+336=0

х²+16х-336=0, квадратное уравнение, ищем корни:

х₁,₂=(-16±√256+1344)/2

х₁,₂=(-16±√1600)/2

х₁,₂=(-16±40)/2

х₁ = -28, отбрасываем, как отрицательный

х₂ = 12 (га) должны были пахать по норме в день

12+2=14 (га) вспахивали фактически

Проверка:

168 : 12 = 14 (дней по плану)

182 : 14 = 13 (дней фактически)

Разница в 1 день, всё верно.

Сделала, что смогла)  По первому листочку.