Решить уравнение: 12x4+52x3-43x2-13x+10

12x^4+52x^3-43x^2-13x+10=0

12x^4+60x^3-8x^3-40x^2-3x^2-15x+2x+10=0

12x^3*(x+5)-8x^2*(x+5)-3x*(x+5)+2*(x+5)=0

(12x^3-8x^2-3x+2)(x+5)=0

a)   12x^3-8x^2-3x+2=0

      (12x^3--2)=0

        4x^2*(3x-2)-1*(3x-2)=0

        (4x^2-1)*(3x-2)=0

          a1) 4x^2-1=0

                4x^2=1

                x^2=1/4

                x1=0,5

                x2=-0,5

            a2) 3x-2=0

                  3x=2

                  x=2/3

б)     x+5=0

        x=-5

ответ: x=-0,25

            x=0,25

            x=2/3

            x=-5 

 

Решение: 1) найдём нули подмодульных выражений: х - 2 = 0     х - 5 = 0 х = 2           х = 5 эти два числа разбивают всю координатную прямую на три промежутка, на каждом из них будем решать уравнение. 2) если х < 2, то х - 2 < 0, lx - 2l = -  x + 2   , х - 5  <   0, l x - 5l = - x + 5, тогда lх - 2l + 3x = lx - 5l + 18 -  x + 2 + 3x =   -  x + 5 + 18 - x +  3x + x = -  2 + 5 + 18 3x = 21 х = 7   число 7 не принадлежит рассматриваемому промежутку. решений здесь нет. 3)    если   2    х 5, то х - 2 0, lx - 2l = x - 2   , х - 5 0, l x - 5l = -  x + 5, тогда lх - 2l + 3x = lx - 5l + 18   x - 2 + 3x =  - x + 5 + 18 х + 3х + х = 2 + 5 + 18 5х = 25 х = 5   5 входит в рассматриваемый промежуток, а значит является решением уравнения 4)  если х > 5, то х - 2 > 0, lx - 2l = x - 2   , х - 5  >   0, l x - 5l =   x - 5, тогда lх - 2l + 3x = lx - 5l + 18 x - 2 + 3x =   x - 5 + 18   x +  3x - x = 2 - 5 + 18 3x = 15 х = 5   число 5 не принадлежит рассматриваемому промежутку. решений здесь нет рассмотрев все три промежутка, получили, что 5 - единственный корень уравнения. ответ: 5.

Если данные ч етыре числа прогрессию, тогда их можно представить  соответственно так:     b₁ ;   b₁q ;   b₁q² ; b₁q³

вычтем соответственно числа 2; 1; 7; 27 и получим первые четыре числа арифметической прогрессии:  

a₁ = b₁ - 2 a₂ = b₁*q - 1 

a₃ = b₁*q² - 7 

a₄ = b₁*q³ - 27

по свойствам арифметической прогрессии каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов.

применим это свойство для второго члена а₂

а₁+а₃=2а₂

подставим вместо а₁ ; а₂ ; а₃  их зачения. b₁ - 2 + b₁q² - 7 = 2*(b₁q -1 )

b₁ - 2*b₁·q + b₁*q² = 2 + 7- 2 

b₁·(1-2q+q²) = 7 

b₁*(1-q)² = 7 

b₁ = 7/(1-q)²

умножим обе части  на q.

b₁q = 7q/(1-q)²    (это первое уравнение)

теперь применим это свойство для третьего члена а₃

а₂+а₄=2*а₃ 

b₁*q - 1 + b₁*q³ - 27 = 2*(b₁q²  -7) 

b₁q - 2*b₁q²  + b₁q³  = 1+27-14 

b₁q*(1-q)² = 14 

b₁q = 14/(1-q)²  (второе уравнение)

в первом и во втором уравнениях  левые части равны, значит, равны их правые части 7q/(1-q)² = 14/(1-q)² 

q = 2

b₁  = 7/(1-q)²

b₁= 7/(1-2)² 

b₁= 7/1

b₁ = 7

при b₁ = 7  и    q = 2    легко найти первые четыре числа, которые представляют прогрессию.

b₁ = 7 b₂  = b₁*q      =>         b₂ = 7*2      =>       b₂ = 14 

b₃ = b₁*q²      =>         b₃ = 7*4      =>     b₃ = 28 

b₄ = b₁*q³      =>         b₄ = 7*8      =>     b₄ = 56

  7; 14; 28; 56 - искомые числа.

проверим дадут ли они арифметическую прогрессию если от них соответственно отнять 2,1,7 и 27.

a₁ = b₁ - 2        =>       a₁ = 7 - 2      =>         a₁ = 5 a₂  = b₂ - 1          =>     a₂ = 14-1          =>       a₂ = 13

a₃ = b₃ - 7            =>     a₃ = 28 - 7        =>       a₃ = 21

a₄ = b₄ - 27            =>     a₄  = 56 - 27      =>     a₄ = 29

  числа 5;   13;   21;   29 действительно арифметическую прогрессию. 

ответ: 7;   14;   28;   56 - данные числа