5. известно, что и сумма и произведение двух натуральных чисел a и b — квадраты натуральных чисел. докажите, что число |16a-9b| — не простое.

Пусть в силу условия
(1)
(2)
где х, y - некоторые натуральные числа

Предположим что
тогда из второго соотношения (2) следует что

где k - некоторое натуральное число

откуда

а значит число |16a-9b| сложное если

и

Рассмотрим варианты
1)


что невозможно - два последовательных натуральных числа не могут быть квадратами натуральных чисел
(доказательство єтого факта




=>x=1; y=0
)
2)


=> k - ненатуральное -- невозможно
3)

=> k - ненатуральное - невозможно
тем самым окончательно доказали,что исходное утверждение верно.

Случай когда  
Учитывая симметричность выражений a+b=b+a, ab=ba
доказывается аналогично.
Доказано

Пусть х км\ч - скорость лодки в неподвижной воде
х+10- скорость по течению реки
х-10 - скорость против течения реки
время, затраченное на путь против течения: 91/х-10
время, затраченное на путь по течению: 91/х+10
По условию сказано, что на обратный путь было затрачено на 6 часов меньше.
Составим и решим уравнение.

91/х-10= 91/х+10+ 6
91(х+10) = 91(х-10) + 6(х+10)(х-10)
91х+910=91х-910+6х^2-600
6х^2-600=0
x^2-100=0
x^2=100
х=10, х=-10
-10 не подходит по условию задачи, значит скорость лодки в неподвижной воде 10 км\ч
ответ: 10 км\ч

2cosx+cos2x=2sinx

2cosx+(2cos^2x-1)-2sinx=0

2cosx+2cos^2x-(sin^2x+cos^2x)-2sinx=0

2cosx+2cos^2x-sin^2x-cos^2x-2sinx=0
cos^2x+2cosx-sin^2x-2sinx=0

Произведём группировку

cos^2x-sin^2x+2cosx-2sinx=0

(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2(cosx-sinx)=0

выносим общий множ. за скобки

(cosx-sinx)(cosx+sinx+2)=0

решаем по отдельности каждое ур-ие

 

1) cosx-sinx=0   /:cosx≠0

1-tgx=0

tgx=1

x=pi/4+pik, k ∈Z

 

2) cosx+sinx= - 2

√2(1/√2*cosx+1/√2*sinx)= - 2

sin(pi/4)cosx+cos(pi/4)*sinx= -2/√2

sin(pi/4+x)=-√2

-√2=1,41

нет реш. , т.к. x∈[-1;1]

 

pi/4+pik, k ∈Z