Если первый член арифметической прогрессии равен 7, а восьмой ) найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии

D=(a8-a1)/7=(-7-7)/7=-2
S20=(2a1+19d)*20/2
S(20)=(14-38)*20/2=-24*10=-240

1. Найдем все значения k, при которых данное уравнение имеет действительные корни, то есть найдем все k, для которых D = b² - 4ac≥0:

D = (-(k+1))² - 4 * 1 * (4 + k) = k² - 2k - 15
 k² - 2k - 15 ≥ 0
Корни уравнения  k² - 2k - 15 = 0:
k1 = -3
k2 = 5 
  
    +          -           +
-------|-------------|--------
        -3             5
=> k ∈(-∞, -3) ∪(5;∞)
2. По теореме Виета 

Из того, что оба корня отрицательны следует, что произведение их положительно, а сумма отрицательна, то есть



k ∈ (-4; -1)
Учитывая 1 и 2, получим: k ∈ (-4; -3).
ответ: k∈(-4; -3).

Чтобы выполнить задание, можно рассмотреть различные случаи чётности и нечётности чисел m и n. Пусть m=2p, n=2q - чётные натуральные числа (p, q - натуральные числа). Тогда (m+5n+7)^6=(2p+10q+7)^6 - нечётное число, а (3m+7n+2)^7=(6p+14q+2)^7=(2*(3p+7q+1))^7=(2^7)*(3p+7q+1)^7=128*(3p+7q+1)^7=64*2*(3p+7q+1)^7 - чётное число, кратное числу 64. Поэтому и заданное число делится на 64 как произведение двух натуральных чисел, одно из которых делится на 64. Остаётся рассмотреть аналогично случаи, когда m=2p+1 - нечётное число, n=2q - чётное число; m=2p - чётное число, n=2q+1 - нечётное число; m=2p+1, n=2q+1 - нечётные натуральные числа.