Розв'язати систему рівнянь: { х-у=1, 1/х + 1/у = 5/6.

Х-у=1
1/х+1/у=5/6

х=1+у
6у+6х=5ху

6у+6+6у=5у(1+у)
12у+6=5у+5у²
5у²-7у-6=0
у₁,₂=(7⁺₋√(79+120)) /10= (7⁺₋13)/10
у₁=2             у₂=-0,6
х₁=1+2=3    х₂=1-0,6=0,4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка  будем называть однородным, если его правая часть, то есть,  является однородной функцией нулевого измерения относительно своих х и у, то есть, для нее выполняется тождество:



Убедимся, что данное дифференциальное уравнение является однородным. Воспользуемся условием однородности


Итак, дифференциальное уравнение является однородным.

Пусть , тогда  получаем


Получили уравнение с разделяющимися переменными



Интегрируя обе части уравнения, получаем



Обратная замена



Получили общее решение.

Пусть первый член прогрессии равен а. Тогда второй член прогрессии равен в*а, где в - знаменатель прогрессии, тогда третий член прогрессии равен в^2 *а. После увеличения второго члена на 8 имеем арифметическую прогрессию а;(в*а+8);в^2 *а. А это значит, что (в*а+8) - а = в^2 *а - (в*а+8); или в^2 *а - (в*а+8) - (в*а+8) + а =0; в^2 *а - 2в*а - 16 + а =0; После увеличения третьего члена прогрессии он примет вид в^2 *а +64 и прогрессия станет геометрической, а это значит, что (в*а+8)/a = (в^2 *а +64)/(ва+8); (в*а+8)^2 = a* (в^2 *а +64); в*а - 4a +4 = 0, откуда а = 4/(4 - в). Подставим это значение в первое уравнение: 4 в^2 +8в - 60 = 0; в^2 +2в - 15 = 0; решив квадратное уравнение стандартным образом, найдем два значения в и возьмем положительное значение в = 3. Тогда члены начальной прогрессии равны:а1 = 4, а2 = 12, а3 = 36. ответ: а1 = 4, а2 = 12, а3 = 36