1)решите двойное неравенство: -2 < x+1/3 < = 7 2) при каких значениях y имеет смысл выражение: √квадратный корень(4+y) + 1/√квадратный корень(15-5y)

1
-2 < x+1/3 <= 7
-2-1/3<x≤7-1/3
-2 1/3<x≤6 2/3
2
{4+y≥0⇒y≥-4
{15-5y>0⇒-5y>-15⇒y<3
y∈[-4;3)

1. 25/36*x^4+5*x^2+9

2. 1/64*x^2-x^2+16*n^2

3. 4/49*m^2+4*m*n^3+49*n^6

4. 1/36*p^6+n*p^3+9*n^2

5. 9/25*c^3+6*c^3*t^4+25*t^8

6. x^4*y^2-2*x^2*y*k*n^2+k^2*n^4

Объяснение:

Следуя формулам (a+b)^2=a^2+2*a*b+b^2

(a-b)^2=a^2-2*a*b+b^2

1. (5/6x^2+3)^2=(5^2)/(6^2)x^4+2*3*5/6x^2+3^2=25/36 x^4+5x^2+9

2. (1/8x^2-4n)^2=1/64x^4-2*4*1/8 x^2+(4n)^2=1/64*x^2-x^2+16n^2

3. (2/7m+7n^3)^2=4/49 m^2+2*2/7*7 *m*n^3+49n^6= 4/49*m^2+4*m*n^3+49*n^6

4. (1/6 p^3+3n)^2=1/36 p^6+2*1/6*3*p^3*n+9n^2=1/36*p^6+n*p^3+9*n^2

5. (3/5 c^3+5t^4)^2=9/25*c^6+2*5t^4*3/5*c^3+25*t^8= 9/25*c^3+6*c^3*t^4+25*t^8

6. (x^2y-kn^2)^2=x^4*y^2-2*x^2*y*k*n^2+k^2*n^4

По условию, нужно найти сумму несократимых дробей вида , это означает, что числа и 1001 - взаимно простые.

Разложим число 1001 на простые множители:

Рассмотрим искомую сумму, без учета условия о несократимости дроби . Тогда получим:

Задача сводится к нахождению суммы . Но мы помним, что на самом деле нас интересует сумма только тех чисел от 1 до 2002, которые являются взаимно простыми с числом 1001.

Найдем количество чисел от 1 до 2002, которые не являются взаимно простыми с числом 1001. По отношению к делимости на делители числа 1001, то есть на 7, 11, 13 все такие числа можно разделить на несколько групп:

- делятся на 7, но не делятся на 11, 13;

- делятся на 11, но не делятся на 7, 13;

- делятся на 13, но не делятся на 7, 11;

- делятся на 7, 11, но не делятся на 13;

- делятся на 7, 13, но не делятся на 11;

- делятся на 11, 13, но не делятся на 7;

- делятся на 7, 11, 13.

Количества таких чисел соответственно равно:

Найти итоговое количество чисел, не взаимно простых с 1001 можно по формуле включений-исключений, которая запишется в виде:

Формула подразумевает, что числа, имеющие два делителя из набора (7, 11, 13) были посчитаны среди первых трех слагаемых дважды, поэтому их необходимо один раз отнять. В свою очередь числа, делящиеся на каждое число набора (7, 11, 13) были посчитаны 3 раза со знаком "плюс" и 3 раза со знаком "минус", поэтому их необходимо отдельно прибавить.

Тогда, количество чисел, взаимно простых с 1001:

Составим следующую конструкцию. запишем числа от 1 до 2002 в столбик, а точнее для дальнейшего удобства - от 0 до 2002:

Во второй столбик запишем те же самые числа в обратном порядке:

Заметим, что сумма чисел в каждой строчке равна 2002.

Нетрудно понять, что два числа в одной строчке либо оба делятся на 7 (аналогично, на 11, на 13), либо оба не делятся. Поскольку 2002 делится на 7, то делимость первого числа в строчке гарантирует делимость второго числа и наоборот.

Тогда, вычеркнем из нашей таблицы 562 строчки, в которых первое число (а значит и второе тоже) не является взаимно простым с числом 1001. Вычеркнем также первую вс строчку (0-2002).

В таблице останется как было определено ранее 1440 чисел в каждом из столбцов. Поскольку мы знаем суммы чисел в каждой строчке, то легко определяется сумма всех чисел в таблице:

Заметим, что в таблице записан двойной набор тех чисел, что нам нужно сложить в числителе искомой величины.

Тогда:

ответ: 1440