Определи точку пересечения прямых y=5x+13 и y=−8x+13, не выполняя построения графиков.

5х+13=-8х+13 5х+8х=13-13 13х=0 Х=0 Y=5x+13 5*0+13 Y=13 ответ:(0;13)

Дана функция f(x)=x³-3x²-9x.

Общая схема исследования и построения графика функции

 При построении графиков функций можно  придерживаться следующего плана:

 1. Найти область определения функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть - их нет, поэтому D(f) = R.

2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной - ни та, ни другая.

3. Выяснить, является ли функция периодической - нет.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции).

Пересечение с осью ОУ: х = 0, у = 0,

                     с осью ОХ: у = 0, x³-3x²-9x = 0, вынесем х за скобки:

                    х(x²3x²-9) = 0, отсюда получаем значение первого корня:

                    х₁ = 0, далее приравниваем нулю квадратный трёхчлен:

x² - 3x - 9  = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: 

Ищем дискриминант:

D=(-3)^2-4*1*(-9)=9-4*(-9)=9-(-4*9)=9-(-36)=9+36=45;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₂=(2root45-(-3))/(2*1)=(√45+3)/2=√45/2+3/2 = 3√2/2+1.5 ≈ 4.85410197;

x₃=(-√45-(-3))/(2*1)=(-√45+3)/2=-√45/2+3/2=-3√2/2+1.5≈-1.85410197.

5. Найти асимптоты графика - не имеет.

6. Вычислить производную функции f'(x) и определить критические точки.

f(x)=x³-3x²-9x,  f'(x)=3x²-6x-9 приравниваем нулю:

3x²-6x-9 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: 

Ищем дискриминант:

D=(-6)^2-4*3*(-9)=36-4*3*(-9)=36-12*(-9)=36-(-12*9)=36-(-108)=36+108=144;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₁=(√144-(-6))/(2*3)=(12-(-6))/(2*3)=(12+6)/(2*3)=18/(2*3)=18/6=3;

x₂=(-√144-(-6))/(2*3)=(-12-(-6))/(2*3)=(-12+6)/(2*3)=-6/(2*3)=-6/6=-1.

Критические точки x₁ = 3, x₂ = -1.

7. Найти промежутки монотонности функции: (-∞;-1), (-1;3),(3;+∞).

8. Определить экстремумы функции f(x).

Надо определить знаки производной на промежутках монотонности.

х = -2, у' = 3*4 + 12 - 9 =  15  функция возрастающая,

х = 2,  у' =  3*4 - 12 - 9 = -9    функция убывающая,

х = 4,  у' = 3*16 - 24 - 9 = 15   функция возрастающая. 

9. Вычислить вторую производную f''(x) = 6х - 6 = 6(х - 1).

10. Определить направление выпуклости графика и точки перегиба:

функция вогнутая на промежутках [1, oo),
выпуклая на промежутках (-oo, 1]

11. Построить график, используя полученные результаты исследования.

 

Чертёж ты уж как-нибудь сама, ладно? Параболу умеешь рисовать? 
Сначала нарисуй, а потом читай дальше. Готово? Ок, поехали.

Во-первых, нам нужно заметить, что эти две линии пересекаются в двух точках. Что же это за точки? Давай решим уравнение
x^2 = x + 2
Увау! Квадратное. Ладно, дискриминант тоже сама выпиши, а я уж позволю себе решить его устно, и узнаю, что корни будут -1 и 2. По теореме Безу решил, если что.

Смотрим на чертёж ещё раз. Искомая фигура ограничена снизу параболой, а сверху прямой. И они пересекаются в точках -1 и 2. Эдакая получается долька.

Как же найти площадь дольки? Очень просто - нужно сначала взять площадь трапеции, имеющей вершинами две точки пересечения графиков, и две точки на оси ОХ с координатами -1 и 2. Для наглядности можно заштриховать наклонной штриховкой эту трапецию. Пусть это будет площадь S1.

А теперь возьмём площадь ПОД параболой, в тех же пределах, пусть это будет площадь S2. Разница S = S1 - S2 и будет ответом.

Ок, дело осталось за малым - найти S1 и S2.
S1 ищем как учили в геометрии - произведение полусуммы оснований на высоту.
Одно (левое ) основание у нас есть отрезок (-1;0) - (-1;1), и его длина равна 1. Второе (правое) основание есть отрезок (2;0) - (2;4), и его длина равна 4. Высота трапеции - отрезок (-1;0) - (2;0), его длина равна 3. Подставляем в формулу, получаем (1 + 4 ) / 2 * 3 = 7,5.

S2 ищем как учили в алгебре - первообразная в правой точке, минус первообразная в левой точке. Чему же равна первообразная для параболы? - это кубическая парабола, и её уравнение имеет вид
F = 1/3 * x^3
Чему равно F(2)?   F(2) = 1/3 * 2^3 = 8/3
Чему равно F(-1)?   F(2) = 1/3 * (-1)^3 = -1/3
 Чему равно F(2) - F(1) ?    F(2) - F(1) = 8/3 - (-1/3) = 9/3 = 3.

Итак, мы пришли к тому, что S1 = 7,5, и S2 = 3
Отсюда получаем ответ: S = S1 - S2 = 7,5 - 3 = 4,5.

Так? Проверь за мной что не ошибся - доверяй, но проверяй.