Параллельные прямые ав и сd пересекаются с прямой мк соответственно в точках n и p. угол крd больше суммы углов mnb и mpd в четыре раза. найти все образовавшиеся углы. 4. в треугольнике авс угол с равен 60°. на стороне ас отмечена точка d так, что угол вdcравен 60°, угол авd 30°, а сd= 5см. найти ас и расстояние от точки d до стороны ав.

Пусть угол KPD - a, угол MNB - b, а угол MPD - c.
a=4(b+c)(по условию), b=c(соответственные углы), a+c=180°(смежные углы). Составляем систему: a+b=180° и a=8b => a+b=180° и a=8b => 8b+b=180° и a=8b => 9b=180° и a=8b => b=20° и a=160°
ответ: a=160°, b=20°, c=20°.

Если угол C и угол BDC равны 60°, то и угол DBC равен 60°, следовательно, треугольник BDC - равносторонний, а BC и BD равны 5 см. Если угол BDC равен 60°, а угол ABD равен 30°, то угол ADB равен 120° (как смежный с BDC), а угол BAD равен 30°, следовательно, треугольник ABD - равнобедренный, а AD равно 5 см. AC=5 см + 5 см = 10 см
ответ: AC=10 см, AD=5 см.

A(0 ;-4) ,B(3;0) ,C(0;6).Пусть AD ,биссектриса  угла  A.

Можно решать разными
              
k = |CD|/|BD| =|AC|/|AB| =10/2 =2 . 
x(D) =(x(C) +k*x(B))/(1+k) =(0+2*3)/(1+2) =2.
y(D)=(y(C) +k*y(B))/(1+k) =(6+2*0)/(1+2) =2.
D(2;2).
Уравнения прямой a , содержащей биссектрису AD будет :
y -y(A) =(y(D) -y(A))/ (x(D) -x(A)) *(x- x(A)) ;
y+ 4 = 3x ⇔3x -y -4 =0 ⇔ (3x -y -4)/√(3²+1²) =0 .
(3x -y -4)/√10 =0 ;
расстояние от точки (вершины) С(0 ;6) до прямой a
d= |3*0-6-4) /√10 =√10 .
* * * * * * * можно решать очень  элементарно 
определить высоту  Hc  треугольника  ACD.
|AC| =10 ; |AB| =5 ;|BC| =3√5
* * * * * * * 
Из вершины C проводить прямую ( составить уравнение) b ⊥  AD и найти точку пересечения с прямой  a 
y - y(c) = -(1/Ka)(x - x(C)) ⇔y -6 = -(1/3)x.
{ 3x -y -4 =0 ; y -6 = -(1/3)x.

Производная будет такая:
у ' = (x² +3x)' (x+4) - (x² +3x)(x+4)' =  (2x+3)(x+4) - (x²+3x)*1 =
                           (x+4)²                                       (x+4)²
   = 2x²+3x+8x+12-x²-3x = x²+8x+12
                (x+4)²                   (x+4)²

В точке х= -4 функция не существует.
x²+8x+12 =0
D=64-48=16
x₁=-8-4 = -6
        2
x₂= -8+4 = -2
          2
(x+2)(x+6)=0
     +               -                    -                   +
-6 -4 -2
x= -6 - max
x= -4  - точка разрыва
х= -2 - min
При х∈(-∞; -6] U [-2; +∞) - функция возрастает.
При х∈[-6; -4) U (-4; -2] - функция убывает.