Найдите значение выражения (х-2) х^2-4х+4/х+2 при х=18

...=(x-2) : (x-2)²/(x+2)=(x-2) * (x+2)/(x-2)²=(x+2)/(x-2)=(18+2)/(18-2) = 20/16=1 ¹/₄=1,25.

Функции  и построить ее график.

1) Функция определена всюду, кроме точек .

2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.

3) Функция не периодическая.

4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.

5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , . Попутно отметим, что прямая  – вертикальная асимптота.

6) Находим  и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).

В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2.

Найти первую производную функции

Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения.

7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке (0, ) и y”<0 на (, +∞), следовательно, на (0, ) кривая вогнута и выпукла на (, ∞).

Найти вторую производную функции

8) Выясним вопрос об асимптотах.

Наличие вертикальной асимптоты  установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты: , , следовательно, y=-x – наклонная двусторонняя асимптота.

9) Теперь, используя полученные данные, строим чертеж:

Как я понял, b-6,5 - это основание логарифмов?
1) Область определения логарифма:
Основание логарифма > 0 и не равно 1
b - 6,5 > 0; b > 6,5
b - 6,5 =/= 1; b =/= 7,5
Число под логарифмом > 0:
x^2 + 1 > 0 - это верно при любом х
(b-5)*x > 0. Так как уже известно, что b > 5, то x > 0

2) Решаем уравнение. Основания логарифмов одинаковые, убираем их
x^2 + 1 = (b-5)*x
x^2 - (b-5)*x + 1 = 0
Так как уравнение должно иметь 2 различных корня, то D > 0
D = (b-5)^2 - 4*1*1 = b^2 - 10b + 25 - 4 = b^2 - 10b + 21 > 0
(b - 3)(b - 7) > 0
b < 3 U b > 7
Но из обл. опр. мы знаем, что
b > 6,5
b =/= 7,5
b принадлежит (7; 7,5) U (7,5; +oo)

3) Найдем x
x^2 - (b-5)*x + 1 = 0
x1 = (b - 5 - √(b^2 - 10b + 21) ) / 2
x2 = (b - 5 + √(b^2 - 10b + 21) ) / 2
Из обл. опр. мы выяснили, что х должен быть > 0.
Ясно, что x2 > x1, поэтому достаточно проверить
(b - 5 - √(b^2 - 10b + 21) ) / 2 > 0
b - 5 - √(b^2 - 10b + 21) > 0 
√(b^2 - 10b + 21) < b - 5
b^2 - 10b + 21 < b^2 - 10b + 25
Это верно при любом b, но проверить было необходимо.
ответ:  b принадлежит (7; 7,5) U (7,5; +oo)