Принадлежит ли графику уравнения 13х+65у=106 точки с целочисленными координатами

Объяснение:

Участвовало всего: 76 человек.

В обеих олимпиадах: 15 человек.

Следовательно, из 76 человек

15 - дважды принимали участие

76-15 = 61 чел. - только 1 раз

Пусть,

х - число участников по математике

у - число участников по физике

Причем, очевидно что без учета 15 принимавших участие в обеих олимпиадах имеем:

(х-15)+(у-15)=61

х+у-30=61

х+у=91

Выразим х и у по отдельности:

х = 91-у

у= 91-х

Т.к. х, у - это число участников, то эти числа должны быть целыми.

И если предположить, что допустим

х - меньше 46, то

при х < 46 этот х может быть равен 45, 44 и т.д

Поэтому при целых значениях

х < 46, равнозначно неравенству х ≤ 45.

Т.е. при х ≤ 45:

х = 91 - у

91 - у ≤ 45

91 - 45 ≤ у

у ≥ 91 - 45

у ≥ 46

А при у < 46, (при у ≤ 45)

у = 91 - х

91 - х ≤ 45

х ≥ 46

Как мы видим, при любых значениях х или у одно из них обязательно будет равно или больше 46

А значит, в какой-то олимпиаде обязательно приняли участие не менее 46 человек.

Ч.Т.Д.

4sina*sin(п/3+a)*sin(п/3-a)=sin3a

Рассмотрим левую часть: 4sina*sin(п/3+a)*sin(п/3-a) = 4sina*(sin(п/3)*cos(a) + cos(п/3)*sin(a)) * (sin(п/3)*cos(a) - cos(п/3)*sin(a)) = (в двух последних скобках - это произведение суммы и разности двух чисел: (a-b)(a+b)=a²-b², воспользуемся этой формулой и раскроем скобки) = 4sina*( sin² (п/3)*cos² (a) - cos² (п/3) * sin² (a) ) =

4sina*( 1/4*cos² (a) – 3/4 * sin² (a) ) = (сокращаем на 4, и воспользуемся тем что соs² = 1-sin² ) = sina*( 1 – sin² (a) - 3*sin² (a)) = sina*( 1 –4*sin² (a))

Рассмотрим правую часть: sin3a= sina – 4*sin³ (a)) = sina*( 1 –4*sin² (a))

Следовательно, выражения в левой и правой частях тождественно равны.