Найдите точку минимума функции y=(1–2x)cosx+2sinx+7 принадлежащую промежутку (0; π/2)

Находим производную:
y'= (1-2x)'cosx+(1-2x)sin'x+7'=y'= -2cosx-(1-2x)sinx+2cosx=(2x-1)sinx
y'=(2x-1)sinx, запишем уравнение (2x-1)sinx=0, (x-1/2)sinx=0
построим интервалы знакопостоянства на промежутке (0; π/2)
0__-__1/2__+__π/2
значит при x∈(0;1/2] y(x) убывает, при x∈[1/2;π/2) y(x) возрастает
значит на промежутке (0;π/2) минимум функции достигается в точке
x=1/2, y=(1-2*1/2)cos(1/2)+2sin(1/2)+7=2sin(1/2)+7
ответ: x=1/2, y=2sin(1/2)+7≈7,96 

Производная функции:

Приравниваем ее к нулю:

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.



Для всех , все корни не будут принадлежать заданному отрезку.

___-___(0,5)___+_____

В точке  функция имеет локальный минимум.


 относительный минимум

x/5 - 5/x ≤ x/3 - 3/x  (1)

2x + 3 ≥ 6/(x + 4)  (2)

сразу посмотрим ОДЗ знаменатели не равны 0  х≠0 х≠-4

решим по отдельности (1) и (2) а потом вспомним про ОДЗ и все пересечем

x/5 - 5/x ≤ x/3 - 3/x

x/3 - 3/x - x/5 + 5/x ≥ 0  

5x/15 - 3x/15 + 5/x - 3/x ≥ 0

2x/15 + 2/x  ≥  0        /:2

(x^2 + 15)/15x ≥ 0

x^2 + 15 всегда больше 0 значит

x > 0

2x + 3 ≥ 6/(x + 4)  (2)

2x + 3 - 6/(x + 4) ≥ 0

[(2x+3)(x+4) - 6]/(x+4) ≥ 0

(2x^2 + 8x + 3x + 12 - 6)/(x+4) ≥ 0

(2x^2 + 11x + 6)/(x+4) ≥ 0

решаем числитель

D=11^2 - 4*2*6 = 121 - 48 = 73

x12 = (-11 +- √73)/4

x1 =  (-11 + √73)/4  ≈ -0.6    x2= (-11 - √73)/4 ≈ -4.8

регшаем методом интервалов

[(-11-√73)/4] (-4) [(-11+√73)/4]

решение  x∈[(-11-√73)/4  -4) U [(-11+√73)/4 +∞)

Пересекаем x>0 x∈[(-11-√73)/4  -4) U [(-11+√73)/4 +∞) x≠0 x≠-4

x∈ (0  +∞)

Минимальное n=51

Объяснение:

n^3+7^(2050)=n^3+  49^(1025)=n^3+(50-1)^1025

(50-1)^(1025)   -разложение бинома ньютона  ,в котором  все члены содержащие  50^2 кратны  100.    Последний член равен: (-1)^1025=-1

А  предпоследний равен  50*k .  Тк  степень  1025  нечетна,то  согласно разложению бинома предпоследний коэффициент n  нечетен. (все остальные члены содержат степень 50^2  cоответствено кратны  100)

Тогда  50*n ,кончается на  50,то есть  остаток от деления на  100  этого числа равен  50.

А  общий остаток от деления  числа

(50-1)^1025  на  100  равен:  50-1=49

Соответственно:

n^3+49  должно быть  кратно  100

Нужно отыскать минимальное  n^3  которое кончается на  51

n^3=100*k +51  k-натуральное  число

n^3=50*(2k+1)+1

Так же очевидно,  что  51^3=(50+1)^3  кончается  на   51  тк  3 нечетное число,это  следует из тех же рассуждений что и в  (50-1)^1025  ,только тут  1^3=1 ,следовательно кончается на  51 (дает остаток  51  при  делении  на 100).   Очевидно, что  n=51  самый вероятный  кандидат на  минимальное n.

Осталось доказать  , что натуральное   число  n<51 (возведенное в куб не  может оканчиваться на  51)

Предположим что такое число существует, тогда

очевидно  что : n=(10*r+1)    r<5 ,тк  число  должно кончатся на цифру  1.

Тк  только  цифра 1^3  кончается на 1.

(10*r+1)^3=50*(2k+1) +1

(10*r+1)^3 -1^3=50*(2k+1)   (применим формулу разности кубов)                          n^3-1^3=(n-1)*(n^2+n+1)

(10*r)*( (10*r+1)^2 +10*r+2)=50*(2k+1)

r*(100*r^2 +30r +3)=5*(2k+1)  ,то  есть левое число должно делится на 5.

Очевидно  ,что 100*r^2+30*r+3  не делится на 5  тк  все члены кроме трех  кратны пяти.  Откуда .поскольку число 5 простое,то  r  должно быть кратно  5,  но  r<5 ,то  есть  r не  может  быть кратно  5.

Мы  пришли к  противоречию,то есть такое невозможно.

Вывод:  n=51