Как найти остаток от деления числа 2013^2015 на 10? подробно ! нужно

Остаток от деления некоторого числа на 10 даст последнюю цифру этого числа. Поэтому нам достаточно установить эту последнюю цифру, а она будет, в свою очередь, равна последней цифре числа 3²⁰¹⁵, поскольку старшие цифры в 2013 на результат не влияют, пусть даже там будет сто цифр впереди.
Выпишем несколько первых степеней тройки
3⁰=1
3¹=3
3²=9
3³=27
3⁴=81
3⁵=243
3⁶=279
3⁷=2187
3⁸=6561

Мы видим, что последняя цифра циклически принимает значения 1, 3, 9 и 7.
Если остаток от деления степени на 4 равен 0, то получаем цифру 1.
Если остаток от деления степени на 4 равен 1, то получаем цифру 3.
Если остаток от деления степени на 4 равен 2, то получаем цифру 9.
Если остаток от деления степени на 4 равен 3, то получаем цифру 7.

Но тогда достаточно определить остаток от деления на 4 степени 2015 и по нему выбрать нужную цифру.
2015 / 4 =  503 и остаток 3.

Следовательно, искомая цифра 7

2tg(x) + ctg(x) - 3 = 0

Представим tg(x)=sin(x)/cos(x)

ctg(x)=cos(x)/sin(x)

Получим:

2sin(x)/cos(x)+cos(x)/sin(x)-3=0

Приводим к общему знаменателю

(2sin^2(x)+cos^2(x)-3sin(x)*cos(x))/sin(x)*cos(x)=0

Когда дробь равна 0? Когда числитель равен 0.

2sin^2(x)+cos^2(x)-3sin(x)*cos(x)=0

Разделим его на cos(x)

Это уравнение однородное, поэтому при делении на cos(x) мы не потеряем корней.

Получим: 2tg^2(x)+1-3tg(x)=0

Пусть tg(x)=t , причем t(принадлежит) (-бесконечности; +бесконечности)

Получим: 2t^2-3t+1=0

D=9-8=1

t1=3+1/4=1;

t2=3-1/4=1/2;

И того: tg(x)=1; tg(x)=1/2

Записываем корни 1 и 2 уравнения

x=п/4+пn; n(принадлежит) Z

x=arctg(1/2)+пn; n(принадлежит Z

1. в скобках переводим в неправильную дробь, получаем (31/17-35/34)=62-35/34=27/34 и * на 34, 34 сокращаем и получаем 27.

 

2. в левой стороне получается: в скобках так же переводим в неправильную дробь 

11/4+33/8 =55/8 далее * на 1целую 5/11, т.е 55/8*16/11 сокращаем 11 и 55 получаем 5 , 16 и 8 получаем 2, 5*2 =10.

правая столрона - упращаем уравнение получаем у(3/8+1-1/4) и подставляем значение у=2целых2/3, переводим в неправильную дробь и получаем 8/3.

8/3(3/8+1-1/4)= 8/3*9/8=3.

мы сократили 8 и 8 получили 1, 9 и 3 получили 3.

в итоге получаем 10=3, неправильное неравинство (знак = перечеркнуть).

 

таким же решаем где у = 4/9

получаем

10 = 4/9(3/8+1-1/4)

10=4/9*9/8

10=1/2,  неправильное неравинство (знак = перечеркнуть).

 

3. 12целых7/10*2+2целых2/5

12целых 7/10*2=25целых4/10+2целых2/5=254/10+12/5=

приводим к общему знаменателю

254+24/10=278/10=27,8кг.