Решите систему уравнений: {x²+xy+6 {x-y+4

А чему все равно? нулю?
если да, то будет так
х=у-4
(у-4)²+у(у-4)+6=0

х=у-4
у²-8у+16+у²-4у+6=0

х=у-4
2y²-12y+22=0

x=y-4
2y²-6y+11=0

Д=6²-4*2*11=36-88<0
нет корней

A) 1/2 (m+n)² + 1/2 (m-n)² = m² + n²

  1/2 (m+n)² + 1/2 (m-n)² = 1/2 (m² + 2mn + n²) + 1/2 (m² - 2mn + n²) =
= 1/2 (2m² + 2 n²) = 1/2 * 2(m²+n²) = m²+n²

б) (1/2 (m+n))² - (1/2(m-n))² = mn

   (1/2 (m+n))² - (1/2(m-n))² = (1/2)²(m+n)² - (1/2)²(m-n)² =
= 1/4 (m²+2mn+n² - m²+2mn - n²) = 1/4 * 4mn = mn

в) (7b-5c)²(b+2c) - b((7b+2c)² -119c²) = 50c³

    (7b-5c)²(b+2c) - b((7b+2c)² -119c²) =
 = (49b²-70bc+25c²)(b+2c) - b(49b²+28bc-119c²+4c²) =
 = 49b³-70b²c+25bc²+98b²c-140bc²+50c³-49b³-28b²c+115bc² =
 = 49b³-49b³+28b²c-28b²c-115bc²+115bc²+50c³ = 50c³

{x²+y² =8 ; x+y =0 .⇔{x²+(-x)² =8 ;y= -x .⇔{x² =4 ; y = -x.⇔{ [x =-2;x =2 ; y = -x .
A(-2; 2) , B(2;-2). сумма координат точек   (-2)+2 +2 +(-2) =0 .

иначе
{x²+y² =8 ; x+y =0 .⇔{( x+y)² -2xy =8 ; x+y =0 .⇔{xy = - 4 ; x+y =0.
x и y  корни уравнения   t² -0*t -4 =0 (обратная теорема Виета).t²=4;
t₁= -2 ;t₂=2. ⇒ x₁= t₁= -2 ;y₁  =t₂=2  или x₂= t₂= 2 ; y₂  =t₁ = -2.

(-2;2) , (2 ;-2).  
 можно  решать  графически 
x²+y² =8 ⇔ x²+y² =(2√2)² → окружность с центром  в точке начале координат  O (0; 0) и радиусом  R =2√2.
x+y =0  ⇒ y = - x  →прямая проходящая через начало координат и дел коорд  углы 2-ой и 4-ой пополам .Пересекает окружность в симм точках относительно центра окружности(начало координат) сумма координат этих точек  =0.