Выражения (a-x)(a+x)(a²+x²) (x-2y²)²-(x+2y²)² (4x²+y²)(2x+y)(2x-y)

Сорян, ошиблась и... некрасиво

A)  2<3x<9
     2/3 <x <3     ≡  x ∈ (2/3; 3)
b)  x≠-3 ; x≠2 ; x≠ 1,25
     D(f) = (-∞; -3) U (-3; 1,25) U (1,25; 2) U (2; ∞)
   1)  x ∈ (-∞; -3)  ⇒
       (x+3) · (x-1,25) · (x- 2)    ?
        <0    ;  <0        ;  <0       <0    ⇒ верно
    2)  x ∈ (-3; 1,25)   ⇒
         >0   ;  <0        ;  <0       >0    ⇒ ne  werno
    3)  x ∈ (1,25; 2)
         >0   ;  >0        ;  <0       <0    ⇒ verno
    4)  x ∈ (2; ∞) 
         >0   ;  >0       :   >0       >0    ⇒ ne werno
 ответ:  x = (-∞; -3) U (2; ∞) 

1) a+b+c=0 => a+b=-c => (a+b)³=(-c)³ => a³+3a²b+3ab²+b³=-c³ =>
=> a³+b³+c³=-(3a²b+3ab²) => a³+b³+c³=-3ab(a+b) => a³+b³+c³=-3ab(-c) =>
=> a³+b³+c³=3abc
2) Обратное утверждение:
Если a³+b³+c³=3abc, то a+b+c=0 (думаю, имеется в виду, что a+b+c обязательно будет равно 0, и не существует других вариантов).
Из утверждения следует, что c³-3abc+a³+b³=0. Допустим, известны числа a и b. Тогда c³-3abc+a³+b³=0 является кубическим уравнением относительно c. Как известно, любое кубическое уравнение с рациональными коэффициентами имеет ровно три корня (необязательно действительных). Отсюда следует, что при фиксированных a и b и при 3-х вариантах c получится три варианта для суммы a+b+c, одним из которых является a+b+c=0.
Таким образом, пункт 1 является верным. Пункт 2 не является верным.
Найдем другие два варианта для c.
Известно, что в уравнении c³-3abc+a³+b³=0 одним из решений является c=-(a+b), так как при подстановке в уравнение получится тождество. Разложим левую часть уравнения на скобки:
c³-3abc+a³+b³=(a+b+c)(c²-c(a+b)+a²-ab+b²).
Решим уравнение c²-c(a+b)+a²-ab+b²=0 относительно c:
D=(-(a+b))²-4(a²-ab+b²)=a²+2ab+b²-4a²+4ab-4b²=-3(a²-2ab+b²)=-3(a-b)²≤0
c1,2=((a+b)+-√3(a-b)*i)/2, где i²=-1, i - мнимая единица.
Если D=0, то a=b, а выражение для c примет такой вид: c=(a+b)/2=(a+a)/2=a. Получим, что в этом случае a=b=c, а сумма a+b+c=3a для любого a.
Если D<0, то c1=(a+b)/2+i√3(a-b)/2,
c2=(a+b)/2-i√3(a-b)/2.
А возможные варианты для суммы станут такими:
a+b+c=a+b+(a+b)/2+i√3(a-b)/2=3(a+b)/2+i√3(a-b)/2,
или
a+b+c=a+b+(a+b)/2-i√3(a-b)/2=3(a+b)/2-i√3(a-b)/2