Сократите дробь: 9x^2+6x+4 / 27x^3 - 8

Здесь мы будем работать только со знаменателем. Сокращаем его по формуле разности кубов --- a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
27x^3-8=(3x)^3-2^3=(3x-2)(9x^2+6x+4)

Сокращаем числитель со второй дробью из знаменателя (то есть убираем их) и получаем ответ 1/(3x-2)

    Когда персонажи ели варенье втроем, то Малышу досталась 1/9 часть. Значит, Карлсон и Винни-Пух съели 1-1/9=8/9 варенья - в 8 раз больше, чем Малыш.
    Если бы ели только Малыш и Карлсон, то Малыш съел бы 1/4, а Карлсон 1-1/4=3/4. Следовательно, Карлсон съедает варенья столько, сколько съели бы 3 Малыша. 
    Значит, когда ели все трое, Карлсон съел 3*1/9=3/9. Тогда Винни-Пух съел 8/9-3/9=5/9 всего варенья. Это означает, что Винни-Пух съедает как 5 Малышей.
     Следовательно, если есть будут только Малыш и Винни-Пух, то Малыш съест 1 часть, а Пух 5 частей. Значит Малышу достанется 1/6 от варенья.

Выразим y обоих случаях:

 

y = 1/2*x² - 1/2

 

у=x+1

 

Найдем точки соприкосновения графиков:

 

х+1 = 1/2*x² - 1/2

2х+2 = х² -1

х²-1-2х-2=0

х²-2х-3=0

D = 4+12=16 - 2 корня

х1 = (2+4)/2 = 3

х2= (2-4)/2 = -1

 

Таким образом, графики фунции пересеаются в двух точках х=-1 и х=3, причем график функции у=x+1 будет расположен выше графика функции y = 1/2*x² - 1/2 на этом отрезке.

 

Теперь можем найти площадь фигуры:

 

S = ∫₋₁³ (x+1-(1/2*x² - 1/2))dx = ∫₋₁³ (x+1-1/2*x² + 1/2 )dx = ∫₋₁³ (x-1/2*x² +3/2)dx = (1/2*x²  - 1/6*x³+ 3/2*x) |₋₁³ = (9/2 - 27/6 +9/2) - (1/2 + 1/6 - 3/2) = 9/2 +5/6 = 27/6 + 5/6 = 32/6 = 16/3 = 5ц1/3