Докажите, что значение выражения: 1) 14⁴-7⁴ кратно 5 2)9^5-3^8 кратно 24 3)6⁴-3^6 кратно 7

1) 14⁴-7⁴ кратно 5
(14^2-7^2)(14^2+7^2)=(14-7)(14+7)*245 jодин из множ кратен 5 
2)9^5-3^8 кратно 24
9^5-3^8=3^10-3^8=3*3^7*(3^2-1)=3^7*3*8=3^7*24 один множ кратен 24
3)6⁴-3^6 кратно 7
(6^2-3^3)(6^2+3^3)= 9 * 63 = 9^2 * 7 один множ кратен 7

1)

произведение двух множителей будет  делится на число, если хотя бы 1 множитель делится на это число 15 на 5 делится, значит и все число так же делится на 5.

2)
по аналогии делится на 24, значит и все число делится.
3)
т.к. делится на 7, то и все висло делится на 7

одной из первых аксиом , относящейся к взаимному расположению точек и прямых на плоскости, является аксиома о том, что через любые две точки плоскости проходит единственная прямая.  

 

сначала рассмотрим , идущие с нарастанием сложности.

1. сколько прямых
проходит через различные пары из трёх точек, не лежащих на одной прямой?

image

ответ: 3

2. сколько прямых проходит через различные пары из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой?

image

ответ: 6

3. сколько
прямых проходит через различные пары из пяти точек, три из которых не лежат на одной прямой?

image

ответ: 10

 

далее, перейдём к более сложному варианту:

   

4. сколько прямых проходит через различные пары из n точек, три из
которых не лежат на одной прямой?

решение.

пусть a1, …, an – n точек, три из которых не лежат на одной прямой. для построения таких точек достаточно отметить их на окружности.  

image

 

выясним, сколько прямых проходит через точку a1 и
оставшиеся точки. так как число оставшихся точек равно n–1 и через каждую из них и точку a1 проходит одна прямая, то искомое число прямых будет равно n–1.

 

заметим, что рассуждения, проведённые для точки a1, справедливы для любой точки. поскольку всего точек n и через каждую из
них проходит n–1 прямая, то число посчитанных прямых будет равно n(n–1). так как, при указанном выше подсчете мы каждую прямую посчитали дважды и поэтому число прямых, проходящих через различные пары из n данных точек, равно   n(n−1)2.  

в заданном случае n=27. подставив значение в
формулу получим:

треугольник задается своими тремя вершинами.

случай 1. пусть одна из вершин треугольника лежит на первой прямой, у которой 10 точек, а две другие - на второй прямой, у которой 6 точек. 

первую вершину можно выбрать   способами, а две другие -   способами. по правилу
произведения, всего треугольников 

случай 2. пусть одна вершина теперь лежит на второй прямой, а две другие - на первой прямой. тогда первую вершину можно взять   способами, а две другие -   способами. по правилу произведения, всего таких треугольников -
6*45=270

итак,  искомое количество треугольников равно