Решить тригонометрическое уравнение, . фото решения 28 cos(x) - 3 sin(x) - 8 = 0.

28cos x -3sin x-8=0
                                                       sin x=2tg (x/2) /(1+tg^2 (x/2));
                                                      cosx=(1-tg^2 (x/2)) /(1+tg^2 (x/2))
28*(1-tg^2 (x/2)) /(1+tg^2 (x/2))  -  3*2tg(x/2) /(1+tg^2 (x/2) -8=0
1+tg^2 (x/2)≠0;  28*(1-tg^2 (x/2)) -6tg(x/2)-8*(1+tg^2 (x/2))=0
                         28 - 28tg^2 (x/2) - 6tg(x/2)-8 - 8tg^2 (x/2)=0
                          -36tg^2 (x/2)-6tg (x/2)+20=0
                           18tg^2 (x/2)+3tg(x/2)-10=0
tg(x/2)=t;  18t^2 +3t-10=0;  D=9-4*18*(-10)=9+720=729=27^2;
                                           t1=(-3-27)/36=-30/36=-5/6; t2=24/36=4/6=2/3
tg(x/2)=-5/6                    ili                 tg(x/2)=2/3
x/2=-arctg(5/6)+πn                            x=2*arctg(2/3)+2*πn; n-celoe
x=-2arctg(5/6)+2πn                              

                         

D=b^2-4ac=(4+5a)^2-25a*(a-4)=16+25a^2+40a-25a^2+100a=140a+16

D=0 a=-4/35

при а<-4/35 решений нет.

при а=-4/35 
x=-(4+5*(-4/35))/(2*25/4*(-4/35))=2.4 решение не в интервале. 

при а>-4/35
квадратичная функция имеет один корень из двух различных на интервале, если второй корень лежит вне отрезка и произведение значений функции на концах отрезка отрицательно.
f(0)=a-4
f(-2)=16a-12
(a-4)*(16a-12)<0
a (3/4;4)

осталось проверить концы интервала по а
а=4 x=0 и x=-24/25 оба корня в интервале.
а=3/4 x=-2 x= 26/75 один корень в интервале.

ответ : [3/4;4)

1. 1)Преобразует левую часть уравнения так, чтобы получился квадрат выражения с х. х^2-4х+3=0, (х^2-2*(2*х)+4)-4+3=0, (х-2)^2-1=0, (х-2)^2=1, х-2=1 или х-2=-1, х=3 или х=1. 2) представим левую часть в виде произведения: х^2+9х=0, х(х+9)=0, х=0 или х=-9. 2. Подставим в уравнение известный корень и найдем а: 4^2+4-а=0, 16+4-а=0, а=20. Разложим левую часть на множители, зная что один из них (х-4): х^2+х-20=х2-4х+4х+х-20=х(х-4)+5х-20=х(х-4)+5(х-4)=(х-4)(х+5), то есть (х-4)(х+5)=0, второй корень х=-5. ответ: а=20, второй корень (-5). Во втором задании можно просто подставить а и решить уравнение, найдя 2 корня.