Докажите тождество (tga+ctga)(1-cos4a)=4sin2a

Формула косинуса и синуса двойного аргумента, в конце основное тригонометрическое тождество

Пусть х-это скорость течения реки.Тогда скорость по течению реки будет (18+х),а против течения реки будет (18-х).

Составим уравнение 50 км/(18+х)    +     8км/(18-х) = 3 часа

50·(18-х) + 8·(18+х) - 3·(18+х)·(18-х) =0

(только х≠18 , чтобы знаменатель не был равен нулю)

900 -50х + 144 + 8х - ( 54+3х)·(18-х)=0

1044 -42х - (972-54х+54х-3х²)=0

1044 - 42х -972 +54х -54х +3х²=0

3х²-42х+72=0

разделим всё на 3,каждый член, для облегчения решения

х²- 14х+ 24 =0

Д=196-4·1·24=100

х= 12   и   х=2          Скорость реки не может быть почти равной скорости теплохода, поэтому х=12 мы не принимаем за ответ.

ответ: х=2км/ч 

 

 

Числа, которые при делении на 12 дают остаток 5, имеют вид:
12k + 5, где k ∈ N. Для трёхзначных чисел выполняется двойное неравенство:
100 ≤ 12k + 5 ≤ 999,  или 95 ≤ 12k ≤ 994, или
Т.о. при 8 ≤ k ≤ 82, или 96 ≤ 12k ≤ 984, или 101 ≤ 12k + 5 ≤ 989, мы получаем все трёхзначные числа, которые при делении на 12 дают остаток 5. Всего таких чисел 82 - 8 + 1 = 75.
Итак, мы знаем первое и последнее число арифметической прогрессии с шагом, равным 12, и количество таких членов. Поэтому спокойно можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии:

Подставляем свои значения и считаем: