Индивидуальный предприниматель иванов а.в. изготавливает сувенирные шкатулки. затраты мастера на производство первой шкатулки составляют 2000 рублей, а доход от её реализации — 3000 рублей. производство каждой следующей шкатулки обходится на 10 рублей дешевле предыдущей, а доход от её реализации на 20 рублей меньше предыдущей. известно, что, начиная со 104-й шкатулки, издержки производства каждой последующей шкатулки снижаются на 100 рублей. определите, какую максимальную прибыль может получить индивидуальный предприниматель иванов а.в. от изготовления партии шкатулок.

От 1 шкатулки прибыль 1000 р.
Производство 2 шкатулки 1990 р, а доход от нее 2980 р.
Прибыль 2980-1990 = 990 р.
Производство 3 шкатулки 1980 р, а доход от нее 2960 р.
Прибыль 2960-1980 = 980 р.
Таким образом, прибыли составляют арифметическую прогрессию, у которой a1 = 1000; d = -10.
Для 100 шкатулки прибыль равна 10 р, для 101 - 0 р, для 102 будет -10 р,
для 103 будет -20 р, для 104 будет -30 р.
Для 104 шкатулки 2000 - 1030 = 970 р, доход 3000 - 2060 = 940 р.
Для 105 шкатулки затраты составят на 100 р меньше, чем для 104.
А доход по-прежнему на 20 р. меньше, чем для 104.
Затраты 840 р, доход 920 р., прибыль 80 р.
Для 106-ой шкатулки затраты 740, доход 900, прибыль 160.
Для 107-ой шкатулки затраты 640, доход 880, прибыль 240.
Для 108-ой шкатулки затраты 540, доход 860, прибыль 320.
Для 109-ой шкатулки затраты 440, доход 840, прибыль 400.
Для 110-ой шкатулки затраты 340, доход 820, прибыль 480.
Для 111-ой шкатулки затраты 240, доход 800, прибыль 560.
Для 112-ой шкатулки затраты 140, доход 780, прибыль 640.
Для 113-ой шкатулки затраты 40, доход 760, прибыль 720.
Дальше какой-то бред - затраты становятся отрицательными,
чего не может быть.

ответ: функция z имеет минимум, равный 2, в точке М(1;1).

Объяснение:

Пишем уравнение связи в виде g(x,y)=x+y-2=0 и составляем функцию Лагранжа L=z+a*g=1/x+1/y+a*(x+y-2), где a - множитель Лагранжа. Находим частные производные dL/dx и dL/dy: dL/dx=-1/x²+a, dL/dy=-1/y²*a и составляем систему из трёх уравнений:

-1/x²+a=0

-1/y²+a=0

a*(x+y-2)=0

Решая её, находим a=1, x=y=1. Таким образом, найдена единственная стационарная точка M(1;1). Теперь проверим, выполняется ли достаточное условие экстремума. Для этого находим вторые частные производные: d²L/dx²=2/x³; d²L/dxdy=0, d²L/dy²=2/y³ Вычисляем значение найденных производных в точке М: A=d²L/dx²(M)=2, B=d²L/dxdy(M)=0, C=d²L/dy²(M)=2 и составляем дифференциал 2-го порядка: d²L=A*(dx)²+2*B*dx*dy+C*(dy)²=2*dx²+2*dy²>0, поэтому функция z в точке М имеет минимум, равный zmin=1/1+1/1=2.

Как я понял: 3х -4 - это основание логарифма; а + 9х +5 - это выражение под знаком логарифма.
Сначала ОДЗ: а +9x +5 > 0   ,    x > (-5 -a )/9
                         3x - 4 > 0             x > 4/3
                         3x -4 ≠ 1              x ≠ 5/3
теперь решаем. по определению логарифма:
  а + 9х +5 = (3х - 4)⁻¹
а + 9х + 5 = 1/(3х -4) |* (3х -4)
(3х - 4)(а + 9х +5) = 1
3ах +27х² +15х - 4а -36х -20 -1 = 0
27х² -3х(а -7) -21 = 0
9х² - х(а - 7) -7 = 0
Чтобы квадратное уравнение имело единственный корень,
Ещё понять бы что за промежуток в условии...необходимо, чтобы D= 0
D = b² - 4ac = (a - 7)² - 4*9*(-7) = a² -14a + 49 + 252= a² -14a + 301
a² -14a + 301 = 0  нет решений.
Это значит, что дискриминант ≠ 0
Т.е. данное уравнение имеет два корня.