Доведіть, що коли x> 0, y> 0, z> 0, то ( 1+y/x)(1+z/y)(1+x/z)≥8.

A = (1 + y/x)(1 + z/y)(1 + x/z) = (1 + y/x + z/y + y/x*z/y)(1 + x/z) =
= 1 + y/x + z/y + z/x + x/z + y/x*x/z + z/y*x/z + z/x*x/z =
= 1 + (y/x+x/y)+(z/y+y/z)+(z/x+x/z) + 1 = 2 + (y/x+x/y)+(z/y+y/z)+(z/x+x/z)
Каждая скобка - это сумма числа и обратного к нему числа, t + 1/t.
Такая сумма не меньше 2 при t > 0 (и не больше -2 при t < 0).
Поэтому, если x > 0; y > 0; z > 0, то  A >= 2 + 2 + 2 + 2 = 8
Причем равенство A = 8 будет только при x = y = z = 1.

 Пусть m — произвольное значение

функции y. Тогда равенство y=m окажется верным при

тех значениях m, при которых уравнение y=f(x) относительно х

имеет корни. Найдем множество значений m, при которых эти уравнения имеют корни. Тем самым мы найдем область значений функций у.

Возведем обе части уравнения √(16-x²)=m в квадрат и выразим x через m

1) m≥0;16-x²≥0⇒|x|≤4

16-x²=m²⇒x²-(16-m²)=0⇒|x|=√(16-m²)⇒√(16-m²)≤4⇒

|m|≤4;16-m²≤16⇒|m|≤4;m²≥0⇒m∈[0;4]

E(y)=[0;4] функция ограниченная

2) m≥0; x²-16≥0⇒|x|≥4

√(x²-16)=m⇒x²-16=m²⇒x²=m²+16⇒|x|=√(m²+16)⇒√(m²+16)≥4⇒

m²+16≥16⇒m²≥0⇒m≥0

E(y)=[0;∞) функция неограниченная

км/ч - скорость велосипедиста
ч - время, которое затратит велосипедист от момента выезда до момента встречи.
Значит  км - расстояние ,которое проедет велосипедист от момента выезда до момента встречи, а это и есть расстояние от пункта А до места встречи.
км/ч - скорость пешехода
ч - время, которое затратит пешеход от момента выхода до момента встречи. А т.к. пешеход вышел через 2 часа после выезда велосипедиста, то  ч 
Значит  км - расстояние ,которое пройдет пешеход от момента выхода до момента встречи. Т.е. это расстояние от пункта B до места встречи.
Т.к. расстояние между пунктами 103 км, то км.
Составляем уравнение:

Т.е. расстояние от пункта A до места встречи  км