Решите уравнение 3(2 – 3х) + 5х = 2х - 6

6 - 9х + 5х = 2х - 6
-9х+5х-2х= -6-6
-6х= -12
х = 2

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

  на промежутке [-4; 1]

Точка разрыва  x=9   в заданный интервал не входит.

Первая производная для нахождения точек экстремумов.

Обе точки экстремумов не попадают в интервал  x∈[-4; 1]

Значения функции на концах интервала

ответ: наименьшее значение функции ;

           наибольшее значение функции F(1) = 0,75

-----------------------------------------------------------------------------

2. Записать уравнение касательной к графику

функции   F(x)=x⁴-2x   в точке  x₀=-1

Уравнение касательной имеет вид  y = F(x₀) + F’(x₀)·(x - x₀)

F(-1) = x⁴-2x = (-1)⁴ - 2(-1) = 1+2 = 3

F'(-1) = (x⁴-2x)' = 4x³ - 2 = 4(-1)³ - 2 = -6

y = F(x₀) + F’(x₀)·(x - x₀) = 3 - 6 (x + 1) = 3 - 6x -6 = -6x - 3

ответ:  уравнение касательной   y = -6x - 3

---------------------------------------------------------------------------

3. Исследовать функцию и построить ее график  F(x)=x³-3x²

1) Область определения  D(F) = R

2) Область значений  E(F) = R

3) Нули функции

   F(x)=x³-3x² = 0;      x²(x - 3) = 0;     x₁ = 0;  x₂ = 3

4) Пересечение с осью OY

  x = 0;   F(0) = 0³-3·0² = 0

5) Экстремумы функции

  F'(x) = 0;   (x³-3x²)' = 0;   3x² - 6x = 0;  3x(x - 2) = 0;

  x₁ = 0;  F(0) = 0;   F"(0) = 6x - 6 = -6   ⇒  локальный максимум.

  x₂ = 2;  F(2) = 2³-3·2² = -4;  F"(2) = 6x - 6 = 6  ⇒  локальный минимум.

6) Монотонность функции.

   Интервалы знакопостоянства первой

              производной F'(x) = 3x(x - 2)

   ++++++++ (0) ------------- (2) +++++++++> x

         /                    \                    /

  x ∈ (-∞; 0)∪(2; +∞)  -  функция возрастает

  x ∈ (0;2)  -  функция убывает

7) Функция не периодическая, общего вида (не является чётной, не является нечётной).

8) Дополнительные точки для построения

x₃ = -1;  y₃ = -4;  x₄ = 1;  y₄ = -2

9) График функции в приложении

нужно рассматривать две разных ситуации:

1) x>=0

тогда y = 2x - 1/2 x^2 - x = - 1/2 x^2 + x

парабола, ветви вниз, корни 0 и 2

т.е. справа от оси У рисуем только часть этой параболы (от х=0)

2) x < 0

тогда у = 2*(-х) - 1/2 x^2 - (-x) = -2x -1/2 x^2 + x = -1/2 x^2 - x

парабола, ветви вниз, корни 0 и -2

т.е. слева от оси У рисуем только часть этой параболы (до х=0)

(получится похоже на то, как птицу-чайку рисуют ---два крыла...)

а вот про прямую у = kx ---точка (0; 0) принадлежит графику... и прямой с любым k...

т.е. общая точка будет всегда (т.е. нет таких k...)