На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0, 02. найти на вероятность того, что среди 150 соединений произойдет: а) хотя бы 4 неправильных соединения; б) больше двух неправильных соединений.

Испытания Бернулли: пусть есть n независимых испытаний, вероятность успеха в каждом из них равна p, вероятность неудачи q = 1 - p. Тогда вероятность того, что будет ровно k успехов равна C(n, k) p^k q^(n - k), где C(n, k) - биномиальный коэффициент C(n, k) = n! / (k! (n - k)!)

В обоих случаях будем искать вероятность того, что описанное в условии не произойдет - так проще.

а) Противоположное событие: произвошло меньше 4 неправильных соединений (т.е. 0, 1, 2 или 3).
P(не было неудачных) = (1 - 0,02)^150 = 0.98^150 =  0.0483
P(одно неудачное) = 150 * (1 - 0,02)^149 * 0.02 = 0.1478
P(два неудачных) = 150 * 149 / 2 * (1 - 0,02)^148 * 0.02^2 = 0.2248
P(3) = 150 * 149 * 148 / 6 * (1 - 0.02)^147 * 0.02^3 = 0.2263

P(<4) = 0.0483 + 0.1478 + 0.2248 + 0.2263 = 0.647
P(>=4) = 1 - 0.647 = 0.353

б) всё точно также, только не надо учитывать P(4).
P(<=2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.0483 + 0.1478 + 0.2248 = 0.421
P(>2) = 1 - 0.421 = 0.579



Можно сравнить точные результаты с приближенными. Тут можно вопрольззоваться теоремой Пуассона, P(k) = (np)^(-k) / k! * exp(-np).
Легко проверить, что в этом приближении P(<=2) = 0.423... (ошибка в третьем знаке после запятой), P(<=3) = 0.64723... (ошибка в пятом знаке)

1.
|3x+2|=4  ⇒  3х+2=4    или  3х+2=-4 
                     3х=2              3х=-6
                     х=2/3              х=-2
 ответ. 2/3 и -2
2. 
|||x-3|+3|-3|=3  ⇒  ||x-3|+3|-3=3                 или        ||x-3|+3|-3=-3
                            ||x-3|+3|=6                    или        ||x-3|+3|=0 
             |x-3|+3=6        или    |x-3|+3=-6    или        |x-3|+3=0
             |x-3|=3           или    |x-3|=-9         или        |x-3|=-3
      x-3=3   или x-3=-3          не имеет                      не имеет
      х=6     или   х=0             корней                          корней
ответ х=0;х=6
3.
|9-x|+|1+x|=8
Решаем методом интервалов. Подмодульные выражения меняют знак в точках х=9 и х=-1
Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.
1) на (-∞;-1] 
   |9-x|=9-x    |1+x|=-1-x
Уравнение принимает вид
  9-x-1-x=8
-2x=0
x=0
0∉(-∞;-1)
Уравнение не имеет корней на интервале (-∞;-1]

2)(-1;9]
|9-x|=9-x    |1+x|=1+x
Уравнение принимает вид
  9-x+1+x=8
  0x=-2
Уравнение не имеет корней.
Уравнение не имеет корней на  на интервале (-1;9]

3)(9;+∞)
|9-x|=x-9    |1+x|=1+x
Уравнение принимает вид
  x-9+1+x=8
  2x=16
  х=8
8∉(9;+∞)
Уравнение не имеет корней на  на интервале (9;+∞)
Объединяем ответы трех случаев.
ответ. Уравнение не имеет корней

X²-3x+2<0
x1+x2=3 U x1*x2=2
x1=1 U x2=2
1<x<2
ax²-(3a+1)x+3>0
D=9a²+6a+1-12a=9a²-6a+1=(3a-1)²
√D=|3a-1|
x1=[(3a+1)-|3a-1|]/2a
x2=[(3a+1)+|3a-1|]/2a
1)1<[(3a+1)-|3a-1|]/2a<3
{[(3a+1)-|3a-1|]/2a>1    (1)
{[(3a+1)-|3a-1|]/2a<3  (2)
(1)[(3a+1)-|3a-1|]/2a>1
a)a<1/3
(3a+1+3a-1-2a)/2a>0
2>0
a∈(-∞;1/3)
b)a≥1/3
(3a+1-3a+1-2a)/2a>0
2(1-a)/2a>0
a=1 U a=0
0<a<1
a∈ [1/3;1)
(2)[(3a+1)-|3a-1|)/2a<3
(3a+1)-|3a-1|-6a))/2a<0
a)a<1/3
(3a+1+3a-1-6a)/2a<0
0<0
нет решения
b)a≥1/3
(3a+1-3a+1-6a)/2a<0
2(1-3a)/2a<0
a=1/3 U a=0
a<0 U a>1/3
a∈(1/3;∞)
Общее a∈(-∞;1) U (1;∞)
2)1<[(3a+1)+|3a-1|]/2a<3
[(3a+1)+|3a-1|]/2a>1  (3)
[(3a+1)+|3a-1|]/2a<3  (4)
(3)[(3a+1)+|3a-1|]/2a>1
a)a<1/3
(3a+1-3a+1-2a)/2a>0
2(1-a)/2a>0
a=1 U a=0
0<a<1
a∈ (0;1/3)
b)a≥1/3
(3a+1+3a-1-2a)/2a>0
2>0
a∈[1/3;∞)
(4)[(3a+1)+|3a-1|]/2a<3
a)a<1/3
(3a+1-3a+1-6a)/2a<0
2(1-3a)/2a<0
a=1/3 U a=0
a<0 U a>1/3
a∈(-∞;0)
b)a≥1/3
(3a+1+3a-1-6a)/2a<0
0<0
нет решения
Общее a∈(-∞;0) U (0;∞)
ответ
a∈ (-∞;0) U (0;1) U (1;∞)