Водной бочке находится смесь спирта с водой в соотношение 3к7 а в другой бочке 40% смеси спирта. сколько нужно взять спиртовой смеси из каждой бочке чтобы получить 16 л смеси в которой соотношение спирта к воде 5 к 11

В 1 бочке 3 л спирта на 7 л воды. Во 2 бочке 2 л спирта на 5 л воды.
Мы берем x л из 1 бочки (3x/7 л спирта) и y л из 2 бочки (2y/5 л спирта)
и получаем 16 л, в которых 5 л спирта.
{ x + y = 16
{ 3x/7 + 2y/5 = 5
Умножаем 2 уравнение на 5*7 = 35 и подставляем 1 уравнение
{ y = 16 - x
{ 3x*5 + 2*7(16-x) = 5*5*7
15x + 224 - 14x = 175
x = 175 - 224 = -49
Такого не может быть.
Можно попробовать подобрать.
Очевидно, количество смеси из 1 бочки должно делиться на 7.
Так как всего нужно получить 16 л, то это может быть только 7 или 14 л.
Если мы берем 14 л, то в них 6 л спирта, а нам нужно 5. Не подходит.
Если мы берем 7 л, то в них 3 л спирта. Чтобы получить 5 л, нужно добавить еще 2 л спирта, то есть 5 л смеси из 2 бочки.
Но тогда всего будет 12, а не 16 л смеси.

1) Число корней квадратного уравнения можно определить при дискриминанта. Если D=0, то уравнение имеет один корень, если D>0, то уравнение имеет два корня, если D<0, то уравнение действительных корней не имеет.

а) 9х²+12х+4=0

D = 12²-4*9*4 = 144-144 = 0 = 0 ⇒ уравнение имеет один корень.

б) 2х²+3х-11=0

D = 3²-4*4*(-11) = 9+176 = 185 > 0 ⇒ уравнение имеет два корня.

2) а) х²-14+33=0

Уравнение приведенное, проще всего использовать теорему Виета.

х₁*х₂=33

х₁+х₂=14

Отсюда х₁=11, х₂=3

ответ: х₁=11, х₂=3

б) -3х²+10х-3=0

D = 10²-4*(-3)*(-3) = 100-36 = 64

ответ: х₁=1/3, х₂=3

в) х⁴-10х²+9=0

Биквадратное уравнение решим при замены.

х²=t

t²-10t+9=0

По теореме Виета:

t₁*t₂=9

t₁+t₂=10

t₁=9, t₂=1

Производим обратную замену.

х²=9 ⇒ х = ±√9 ⇒ х=±3

х²=1 ⇒ х = ±√1 ⇒ х=±1

ответ: х₁,₂ = ±3, х₃,₄ = ±1.

г) х²+10+22=0

D = 10²-4*1*22 = 100-88 = 12

ответ: х₁=-5+√3, х₂=-5-√3

д) х²-110х+216=0

По теореме Виета:

х₁*х₂=216

х₁+х₂=110

х₁ = 108, х₂ = 2

ответ: х₁ = 108, х₂ = 2

3) Пусть одна сторона прямоугольника равна х см. Вторая сторона на 9 см больше первой, поэтому она равна (х+9) см. Площадь прямоугольника 112 см² (по условию). Она находится как произведение смежных сторон прямоугольника.

Составляем уравнение.

х*(х+9) = 112

х²+9х-112 = 0

D = 9²+4*1*112 = 81+448 = 529

Длина отрицательной быть не может, поэтому нам подходит только один корень: 7

Длина одной стороны прямоугольника 7 см.

Длина второй стороны прямоугольника х+9=7+9=16 см.

ответ: 7 см, 16 см.

4)

ОДЗ: (5-х)(5+х)≠0 ⇒ х≠5, х≠-5.

х²+6х+5=0

По теореме Виета:

х₁*х₂=5

х₁+х₂=-6

х₁ = 5, х₂ = 1

х₁ = 5 - не удовлетворяет ОДЗ.

ответ: х=1

5) 4х²+рх+9=0

Квадратное уравнение имеет один корень, если дискриминант равен нулю. Найдем дискриминант и приравняем его к нулю. Затем решим получившееся уравнение и тем самым найдем значения р.

D = р²-4*4*9 = р²-144

р²-144 = 0

р²=144

р = ±√144

р= ±12

ответ: р= ±12

Может быть так? 

Два фермера, работая вместе, могут вспахать поле за 25 часов.
Производительность труда у первого и второго относятся как 2:5.
Фермеры планируют работать поочередно.
Сколько времени должен проработать второй фермер, чтобы поле было вспахано за 45,5 часов?

Пусть Х-производительность 1-го, У-производительность 2-го.
Система:

х+у=125
2х=5у
Последовательно:
2х+2у=2/25
2х-5у=0
7у=2/25 и у=2175
Тогда х=135
Итак, производительности мы нашли.
Поочередно фермеры работали 45,5 часа = 91/2 часа.
Пусть из этого времени 2-ой работал Т часов, тогда 1-ый работал 912-Т часов.
Уравнение:
(91/2-Т)⋅(1/35)+Т⋅(2/175)=1
имеет корень Т=17,5
Проверка.
1. проверим , что х+у=125
1/35+2/175=(70+175)/(175⋅35)=7/175=1/25
2. проверим, что 2х=3у:
2/35=5⋅2/175
3. Проверим уравнение при поочередной работе:
Если 2-ой работал 17,5 часов, то 1-ый работал 45,5-17,5=28 часов
28⋅135+(352)⋅(2175)=28/35+1/5=1
ОТВЕТ: 17,5