Срешением при каком наименьшему натуральном значении b, функция убывает на всей числовой прямой f(x)=25 - e^x * x^2 - 1/9 * b^2 * e^x

Найдём производную функции:
f(x) = 25 - eˣ·x² - 1/9·b²·eˣ
f'(x) = -(eˣ·x² + 2x·eˣ) - 1/9b²·eˣ = -eˣ·x² - 2x·eˣ - 1/9b²·eˣ = eˣ·(-x² - 2x - 1/9b²)
f'(x) ≥ 0
eˣ·(-x² - 2x - 1/9b²) ≥ 0
eˣ > 0 при любых x, поэтому решаем неравенство только с тем, что в скобках:
-x² - 2x - 1/9b² ≥ 0
x² + 2x + 1/9b²  ≤ 0
Решим уравнение x² - 2x + 1/9b² = 0
x² - 2x + 1/9b² = 0
D = 4 - 4/9b²
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство будет неверно, а значит, функция будет убывать тогда, когда D ≤ 0
4 - 4/9b² ≤  0
(2 - 2/3b)(2 + 2/3b) ≤ 0
(1 - 1/3b)(1 + 1/3b) ≤ 0
(-b + 3)(b + 3) ≤ 0
(b - 3)(b + 3) ≥ 0
  +-3                 -              3+      
●●> b
Наименьшее натуральное b = 3 (-3 - не натуральное).  
ответ: при b = 3. 

1) =(a-2-1)  (a+2+1) =  (a-3) (a+3)                                                                                2) = (4-x-y) (4+x+y)                                                                                                      3) = (5y-6-7) (5y+6+7)= (5y-13) (5y+13)                                                                      4) = (m-7-8) (m+7+8)=(m-15) (m+15)                                                                          5) = (4a-4a-6) (4a+4a+6)= (-6) (8a+6)        
   6) = (x- 2 y (в квадрате ) -x (в кубе )  ) (x + 2y (в квадрате)+x ( в кубе) )

Ть опервый использование свойств арифметической прогрессии)
Имеем конечную арифметическую прогрессию с первым членом -111, разностью арифметической прогрессии 1 (разница между двумя последовательными целыми числами) и суммой 339, нужно найти последний член данной прогрессии









- не подходит, количество членов прогрессии не может быть отрицательным



ответ: 114

второй на смекалку)
(так как слагаемые последовательные целые числа, и меньшее из них отрицательное, а сумма положительна, то последнее из них тоже положительное, иначе они б в сумме дали отрицательное число как сумму отрицательных числе, а не положительное)

далее -111+(-110)+.+0+1+2+...+110+111+112+...+х=
(-111+111)+(-110+110)+(-99+99)+(-1+1)+0+112+113+114+.. + х=
0+0+0+....+0+0+112+113+114+..+х
=112+113+..+х
т.е каждому отрицательному найдется в "противовес" положительное, которое в сумме вместе с ним даст 0,
и фактически наша сумма равна 112+113+...+х (*)
так как наименьшее из слагаемых (*) трицифровое ,и наша сумма трицифровое число, то мы последовательно сравнивая суммы
, найдем его очень быстро
112=112
112+113=225 - меньше
112+113+114=339 -- совпало
значит искомое число х равно 114
ответ: 114