Карлсон был на диете в течение одного месяца. в течение первой недели он похудел на 8%. в конце второй недели – похудел еще на 4%. однако за следующую неделю вес карлсона увеличился на 10%, а в конце четвертой недели его вес возрос еще на 5%. каким образом изменился вес карлсона за месяц диеты (уменьшился его вес или увеличился)? выразите это изменение в процентах.

Пусть вес был Х.
после первой недели увеличился в 0,92 раза. Стал 0,92 х.
после второй недели увеличился в 0,96 раза. Стал 0,96*0,92х.
после третьей увеличился в 1,1 раз. Стал 1,1*0,96*0,92х.
в конце вес увеличился в 1,05 раз. Стал 1,05*1,1*0,92*0,96х = 1,020096х.
То есть вес увеличился в 1,020096 раз или на 2,0096%
ответ: увеличился на 2,0096%

y = - x³ + 3x² + 4

Найдём производную :

y' = (- x³)' + 3(x²)' + 4' = - 3x² + 6x

Приравняем производную к нулю , найдём критические точки :

- 3x² + 6x = 0

- 3x(x - 2) = 0

x₁ = 0

x - 2 = 0      ⇒   x₂ = 2

Обе критические точки принадлежат заданному отрезку. Найдём значения функции в критических точках и на концах отрезка и сравним их .  

y(- 3) = -(- 3)³ + 3 * (- 3)² + 4 = 27 + 27 + 4 = 58

y( 3) = - 3³ + 3 * 3² + 4 = - 27 + 27 + 4 = 4

y( 0) = - 0³ + 3 * 0² + 4 = 4

y(2) = - 2³ + 3 * 2² + 4 = - 8 + 12 + 4 = 8

Наименьшее значение функции равно 4, а наибольшее равно 58 .

Нужно найти наименьшее натуральное число, которое при умножении на 2 даст полный квадрат, а при умножении на 3 - полный куб.
Обозначим искомое число за . Любое число можно представить в виде произведения простых множителей. Запишем:
, где  - некоторые натуральные числа.
По условию, число  является полным квадратом, значит  и  - четные числа, а  - полный квадрат. Аналогично, число  является полным кубом, значит  и делятся на 3, а - полный куб.
Легко видеть, что наименьшие возможные значения  это , значит .