Найдите критические точки функции: y=0, 5sin2x-sinx

Критические точки функции - это те значения x, при которых производная или не существует, или обращается в нуль.
y' = (0,5sin2x - sinx)' = 2·0,5cos2x - cosx = cos2x - cosx
Производная всюду существует, поэтому приравняем её к нулю:
cos2x - cosx = 0 
2cos²x - cosx - 1 = 0
2cos²x - 2cosx + cosx - 1 = 0
2cosx(cosx - 1) + (cosx - 1) = 0
(2cosx - 1)(cosx - 1) = 0
1) 2cosx - 1 = 0
2cosx = 1
cosx = 1/2
x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z
2) cosx - 1 = 0
cosx = 1
x = 2πk, k ∈ Z
ответ: -π/3 + 2πn; π/3 + 2πn, n ∈ Z, 2πk, k ∈ Z.

Функция f(x) называется возрастающей, если для для любых двух чисел таких, что x₁ < x₂, выполняется условие f(x₁) < f(x₂).

Т.е. для возрастающей функции при x₁ < x₂ разность f(x₁) - f(x₂) < 0.

Выберем два последовательных числа, n и (n + 1). У нас выполняется условие n < n + 1.

Оценим разность значений функции при этих значениях аргумента:

f(n)  = 3n - 5

f(n+1) = 3(n + 1) - 5 = 3n + 3 - 5 = 3n - 2

f(n) - f(n+1) = 3n - 5 - (3n - 2) = 3n - 5 - 3n +2 = -3

f(n) - f(n+1) = - 3 < 0

⇒ f(n) < f(n+1) функция возрастающая. Доказано.

пусть собственная скорость катера будет = х км/ч, а скорость течения реки = у км/ч

значит скорость катера по течению реки составит: (х+у) км/ч, а против течения (х-у) км/ч

за 1 час по течению катер проплыл 18 км =>  1*(x+y) = 18

против течению катер плыл такое же рассстояние, но за 1,5 часа (2,5 - 1) ,т.е. 1,5(х-у) = 18

объединим полученные уравнение в систему и решим их

{ 1*(x+y) = 18

{1,5(х-у) = 18

***

{х = 18 - у

{ 27 - 3у = 18

***

{ у = 3

{ х = 15

 скорость течения реки 3 км/ч, а собственная скорость катера 15 км/ч