Спростити рівняння функції y=x^4+x^4/(1+x^4 )+x^4/(1+x^4 )^2 +x^4/(1+x^4 )^3 +⋯ та знайти її значення, якщо х = 3

Докажем, что это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
b₁ = x⁴
b₂ = x⁴/(1 + x⁴)
b₃ = x⁴/(1 + x⁴)²
b₁b₃ = b₂² - условие существования геометрической прогрессии
x⁴·x⁴/(1 + x⁴)² = x⁸/(1 + x⁴)² = [x⁴/(1 + x²)²] - верно 
q = b₂/b₁ = x⁴/(1 + x⁴)/x⁴ = 1/(1 + x⁴)
Т.к. x > 1, то 0 < q < 1 ⇒ данная геометрическая прогрессия бесконечно убывающая.
S = b₁/(1 - q) = x⁴/[1 - 1/(1 + x⁴)] = x⁴/[(1 + x⁴ - 1)/(1 + x⁴)] =
x⁴(1 + x⁴)/x⁴ = 1 + x⁴ = 1 + 3⁴ = 1 + 81 = 82
ответ: y = x⁴ + 1; 82. 

n=6

Объяснение:

известно, что формула перестановок :

Pn=n!, где n - количество элементов, участвующих в перестановках

при этом n!=1*2*...*(n-1)*n,

и 0!=1, 1!=1, 2!=1*2=2, 3!=1*2*3=6 и т.д.

Соответственно, в данной задаче Pn<724, требуется найти n max?

Отметим, что n - не отрицательное число,

то есть n≥0

Рассмотрим возможные варианты:

n=0, 0!=1

n=1, 1!=1

n=2, 2!=1*2=2

n=3, 3!=1*2*3=2*3=6

n=4, 4!=1*2*3*4=6*4=24

n=5, 5!=1*2*3*4*5=24*5=120

n=6, 6!=1*2*3*4*5*6=120*6=720

n=7, 7!=1*2*3*4*5*6*7=720*7=5040 > 724 - не подходит,

Следовательно, подходящее к условии задачи число n имеет следующее условие:

0≤n≤6, то есть n max = 6

840

Объяснение:

Первую марку мы можем выбрать абсолютно любую из 7, то есть 1 из 7 — соответственно выбора первой марки.

После выбора первой марки, их остаётся уже на 1 меньше, то есть 7-1=6. Следовательно, вторую марку мы можем выбрать 1 из выбора.

После этого остаётся 6-1= 5 марок. и Третью марку мы выбираем одну из 5.

Теперь остаётся 5-1=4 марки. и последнюю, четвёртую марку можем выбрать одну из 4.

Вспомним, следующее правило из комбинаторики:

Вспомним, следующее правило из комбинаторики:Вспомним, следующее правило из комбинаторики:Правило умножения (правило «и») — если элемент A можно выбрать и при любом выборе A элемент B можно выбрать то пару (A, B) можно выбрать

Согласно приведенному выше правилу,

количество выбрать 4 марки из 7 =

= 7 * 6 * 5 * 4 = 42*20=840