Найдите значение выражения (2-√3)²+(2+√3)² - подробно

Надеюсь всё хорошо видно

План действий такой: 1) ищем производную
                                      2) приравниваем её к нулю и решаем получившееся уравнение
                                      3) Смотрим: какие корни попали в указанный промежуток и ищем значения данной функции в этих точках и на концах данного отрезка;
                                       4) пишем ответ.
Поехали?
1) f'(x) = ((x² -8x)'(x+1) - (x² -8x)(x+1)')/(x+1)²=
 ((2x-8)(x+1) - (x²-8x))/(x+1)²= (2x² -8x +2x -8 - x² +8x)/(x+1)²=
=(x² +2x -8) / (х+1)²
2)(x² +2x -8) / (х+1)² ⇒ x² +2x -8 =0, ⇒ х = - 4   и   х = 2
3) Из найденных корней в указанный промежуток попало  х = -4
а) х = -4
f(-4) = (-4)² -8*(-4) /(-4+1) = 48/(-2) = -24
б) х = -5
f(-5) = (-5)² -8*(-5) /(-5+1) = 65/(-4) = -13,75
в) х = -2
f(-2) = (-2)² -8*(-2)/(-2+1) = 20/(-1) = -20
4) maxf(x) = f((-2) = -20
    minf(x) = f(-4) = -24

Уравнение четвертой степени имеет максимум 4 корня.

Если все они действительные - то согласно правилу знаков Декарта - все они положительные , так как знак коэффициентов меняется 4 раза.  ( + - + - + )

Согласно теореме Виетта сумма корней уравнения n - степени равна частному от деления коэффициента при степени n-1 на коэффициент при n - степени с противоположным знаком .

В нашем случае это  26/1 = 26

Определим точки перегиба функции в левой части Уравнения

f"(x) = (x^4-26x^3+160x^2-100x+7)" = 12x^2 - 156x +320

f"(x) =0

12x^2 - 156x +320 =0

x12 = 13/2 +- √561 / 6

x1 ≅ 2.5

x2≅10.4

- Точки перегиба

Все Корни уравнения положительные .

f(0) >0

f(2,5) >0

посмотрим есть ли на интервале от 0 до 2.5 отрицательные значения функции и соответственно 2 корня

f(0,5) = (0.5)^4-26*(0.5)^3+160*(0.5)^2-100*(0.5)+7 = -6.1875

Есть  2 действительных корня .

Посмотрим значение функции за второй точкой перегиба

f(12)=  (12)^4-26*(12)^3+160*(12)^2-100*(12)+7 = -2345

При больших X - значение функции положительно ( так коэффициент при 4 степени положительный )

Значит уравнение имеет 4 действительных корня и их сумма по теореме Виетта равна 26