Найти множество значений функции y= 3 sin x - 1, y= 1- 2 cos 2x

-1< sinx< 1

-3< 3sinx< 3

-3-1< 3sinx-1< 3-1

-4< 3sinx< 2

 

-2< 2cos2x< 2

1-2< 1-2cos2x< )

-1< 1-2cos2x< 3

Касательная к графику функции y=1/x²  такова, что абсцисса c точки касания лежит на отрезке от 5 до 9. при каком значении c площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью ox и прямой x= 4 , будет наибольшей  ? чему равна эта наибольшая площадь? f(x) =  1/x ² касательная к  графику функции   y=f(x) в точке   (  x₀,  f '(x₀ где  5  <   x ₀ < 9 ; y = 0   (уравнения оси абсцисс_  ox) x=  4. схематическая картина изображена   в прикрепленном файле  уравнение  касательной  к  графику   функции   y = f(x)   в точке                             (  x₀,  f '(x₀))      имеет вид    y =  f '(x₀)  (x -  x₀)   +    f (x₀).   f (x₀) =  1/x₀²  ; f '(x) =(  1/x²  )' =(  x⁻²  )'  =  -2*(x⁻²⁻¹ ) =  -2*(x⁻³)  = -2/  x³ ;   f '(x₀) =-2/x₀³.   y =-(2/x₀³)*  (x -  x₀)   +  1/x₀²     ⇔    y =  -  (2/x₀³)*  x   +  3/x₀² ; точка пересечения   касательной  с осью абсцисс  (обозначаем через  а)  :   у = 0    ⇒    x =3x₀  /2     * * *  а(3x₀  / 2: 0)   * * * точка пересечения   касательной  с прямой   x =  4 (обозначаем через  c)  :     y(c) =  -  (2/x₀³)*  4   +  3/x₀² = -8/x₀³+3/x₀² =(3x₀  -8) /  x₀³     * * *   c(  4;   (3x₀  -8) /  x₀³  )   ;     b(4 ; 0)     * * * s(x₀)=s(∆abc)=(1/2)*  ab*bc=(1/2)*(3x₀  /2-4)*(3x₀-8)/x₀³  =(1/4)*(3x₀  -8)² /x₀³ s(x₀)  =  (1/4)*(3x₀  -8)² /x₀³ . обозначаем    f(x₀)  =(3x₀  -8)² /x₀³   и    определяем  x₀ при которой функция f(x ₀) принимает свое  максимальное значение .   f'  (x₀) = (  (3x₀  -8)² /x₀³ ) ' =( 2(3x₀  -8)*3*x₀³ -  (3x₀  -8)²*3x₀²  ) /  x₀⁶ = 3x₀²(3x₀  -8)*(2x₀ -  3x₀  +8)  ) /  x₀⁶   =3(3x₀  -8)*(8 -x₀)  /  x₀ ⁴ f'  (x₀)           -                         +                           - 8/3      8       * * *  8  ∈ (4; 9 ) * * * f(x₀)              ↑                           ↑             max              ↑ max (s(x₀))=  s(8)=  (1/4)*(3*8  -8)² /8³   = .(1/4)*8²  (3  -1)² /8³  =(1/4)*4  /8   =1/8. ответ :   1/8     ед. площ. (   проверить  арифметику )  =================== удачи !

Пусть в растворе было x граммов соли. Тогда всего было 60 + x г раствора, в котором процентность содержания соли вычисляется через пропорцию. 60 + x - это 100% x - это y %. y = x * 100/(60 + x) После добавления воды стало 80 + x граммов раствора, а концентрация соли стала y - 5% 80 + x - это 100% x - это y - 5%. y - 5 = x * 100/(80 + x) Решим систему уравнений. x * 100/(60 + x) - 5 = x * 100/(80 + x) Сократим уравнение на 5, избавимся от дробей и приведём квадратное уравнение к стандартному виду. 100x(80 + x) - 5(60 + x)(80 + x) = 100x(60 + x) 20x(80 + x) - 4800 - 60x - 80x - x^2 = 20x(60 + x) 1600x + 20x^2 - 4800 - 140x - x^2 = 1200x + 20x^2 1600x - 4800 - 140x - x^2 - 1200x = 0 x^2 - 260x + 4800 = 0 D = 260 * 260 - 4 * 4800 = 67600 - 19200 = 48400 = 220^2 x = (260 - 220)/2 = 40 : 2 = 20 г.

ответ: раствор содержит 20 граммов соли.