Докажите что при любом натуральном n значение выражения 7^n*2^3n-3^2n кратно 47

7ⁿ*2³ⁿ-3²ⁿ=(7*2³)ⁿ-(3²)ⁿ=(7*8)ⁿ-9ⁿ=56ⁿ-9ⁿ=47ⁿ.

Расстояние между пунктами   =   1 (целая)

I автомобиль:
Скорость  х км/ч
Время на весь путь   (1/х) ч.

II  автомобиль :
I-я половина пути    1 : 2  = 1/2  = 0,5
Скорость   (х-11) км/ч
Время на этот путь     0,5/(х-11)  часов

II-я половина пути      0,5
Скорость   66 км/ч
Время  на  этот путь   0,5/66 часов.

Зная, что автомобили прибыли  одновременно, составим уравнение:
1/х  =  0,5/(х-11)   +  0,5/66 
1/x   -    0.5/(x-11)  = 0.5/66
знаменатели дробей  не должны быть равны 0 :
х ≠0  ;    х≠ 11
(x -  11 - 0.5x) /  x(x-11) = 0.5/66
(0.5x-11)/ (x² - 11x) = 0.5/66
0.5(x²  - 11x) = 66(0.5x-11)            |*2
x² -11x = 2*66*0.5x  - 2*66*11
x² -11x = 66x - 1452
x² - 11x -66x + 1452=0
x² - 77x  +1452 =0
D = (-77)²  - 4*1 * 1452 = 5929  - 5808 = 121 = 11²
D>0  -  два корня уравнения
х₁  = ( - (-77)  - 11)/(2 *1) = (77-11)/2 = 66/2 = 33   не удовлетворяет условию задачи  (<42 км/ч)
х₂  = (77+11)/2  = 88/2  =  44 (км/ч) скорость I автомобиля

ответ:  44 км/ч  скорость I автомобиля.

Объяснение:В том случае, если катер будет двигаться против течения реки, его скорость будет равна разнице собственной скорости и скорости течения реки.

Получим:

х - 1,9 км/ч.

Если катер будет двигаться по течению реки, его скорость будет равна сумме собственной скорости и скорости течения реки.

Получим:

х + 1,9 км/ч.

Если подставить вместо значения х любое натуральное число, получим:

х = 10 км/ч.

х - 1,9 = 8,1 км/ч (скорость катера против течения реки).

10 + 1,9 = 11,9 км/ч (скорость катера по течению реки).

х - 1,9 км/ч.