Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби а) 3/³√5 ; б)6/³√5+1; в )3/³√16+³√4 +1
Ответы
Хорошо, ответим на вопросы по очереди:
а) Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе в дроби 3/³√5, нужно использовать свойство рационализации знаменателя.
Для начала перепишем √5 в виде степени: ³√5 = 5^(1/3).
Теперь можем возвести 5 в знаменателе в степень 1/3: ³√5 = 5^(1/3).
Таким образом, исходная дробь 3/³√5 может быть переписана в виде дроби 3/5^(1/3).
б) В этом случае у нас есть дробь 6/(³√5+1). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, мы будем использовать тот же метод рационализации знаменателя.
Перепишем √5 в виде степени: ³√5 = 5^(1/3).
Теперь можем возвести 5 в знаменателе в степень 1/3: ³√5 = 5^(1/3).
Теперь перепишем исходную дробь 6/(³√5+1) так, чтобы знаменатель стал рациональным.
Умножим исходную дробь на единицу в форме (³√5-1)/(³√5-1), чтобы получить рациональный знаменатель.
(6/(³√5+1)) * ((³√5-1)/(³√5-1)) = [6(³√5-1)] / [(³√5)^2 - 1^2].
Здесь мы использовали формулу разности квадратов (a^2 - b^2) = (a+b)(a-b).
Теперь упростим знаменатель, возводя (³√5) в степень 2 по свойству степени: (³√5)^2 = 5^(2/3).
Получаем итоговое выражение: (6(³√5-1)) / (5^(2/3) - 1).
в) Теперь разберем дробь 3/(³√16 + ³√4 + 1). Здесь у нас три слагаемых в знаменателе, каждое из которых содержит кубический корень.
Также как в предыдущих задачах, мы будем использовать метод рационализации знаменателя.
Для начала упростим каждое слагаемое в знаменателе, возводя их в степень:
(³√16)^3 = 16, (³√4)^3 = 4.
Теперь перепишем знаменатель исходной дроби: (³√16 + ³√4 + 1) = (16^(1/3) + 4^(1/3) + 1).
Умножим исходную дробь на единицу в форме [16^(2/3) - 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3)] / [16^(2/3) - 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3)].
Теперь знаменатель можно упростить, применяя формулу разности кубов: x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2).
Заметим, что x = 16^(1/3), y = 4^(1/3).
(16^(2/3) - 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3)) = [(16^(1/3) - 4^(1/3))(16^(2/3) + 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3))].
Собирая все вместе, получаем итоговое выражение: 3[(16^(1/3) - 4^(1/3))(16^(2/3) + 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3))] / [(16^(1/3) - 4^(1/3))(16^(2/3) + 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3))].
Таким образом, мы избавились от иррациональности в знаменателе в каждой из трех заданных дробей, используя метод рационализации знаменателя и дополнительные математические преобразования.
а) Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе в дроби 3/³√5, нужно использовать свойство рационализации знаменателя.
Для начала перепишем √5 в виде степени: ³√5 = 5^(1/3).
Теперь можем возвести 5 в знаменателе в степень 1/3: ³√5 = 5^(1/3).
Таким образом, исходная дробь 3/³√5 может быть переписана в виде дроби 3/5^(1/3).
б) В этом случае у нас есть дробь 6/(³√5+1). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, мы будем использовать тот же метод рационализации знаменателя.
Перепишем √5 в виде степени: ³√5 = 5^(1/3).
Теперь можем возвести 5 в знаменателе в степень 1/3: ³√5 = 5^(1/3).
Теперь перепишем исходную дробь 6/(³√5+1) так, чтобы знаменатель стал рациональным.
Умножим исходную дробь на единицу в форме (³√5-1)/(³√5-1), чтобы получить рациональный знаменатель.
(6/(³√5+1)) * ((³√5-1)/(³√5-1)) = [6(³√5-1)] / [(³√5)^2 - 1^2].
Здесь мы использовали формулу разности квадратов (a^2 - b^2) = (a+b)(a-b).
Теперь упростим знаменатель, возводя (³√5) в степень 2 по свойству степени: (³√5)^2 = 5^(2/3).
Получаем итоговое выражение: (6(³√5-1)) / (5^(2/3) - 1).
в) Теперь разберем дробь 3/(³√16 + ³√4 + 1). Здесь у нас три слагаемых в знаменателе, каждое из которых содержит кубический корень.
Также как в предыдущих задачах, мы будем использовать метод рационализации знаменателя.
Для начала упростим каждое слагаемое в знаменателе, возводя их в степень:
(³√16)^3 = 16, (³√4)^3 = 4.
Теперь перепишем знаменатель исходной дроби: (³√16 + ³√4 + 1) = (16^(1/3) + 4^(1/3) + 1).
Умножим исходную дробь на единицу в форме [16^(2/3) - 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3)] / [16^(2/3) - 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3)].
Теперь знаменатель можно упростить, применяя формулу разности кубов: x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2).
Заметим, что x = 16^(1/3), y = 4^(1/3).
(16^(2/3) - 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3)) = [(16^(1/3) - 4^(1/3))(16^(2/3) + 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3))].
Собирая все вместе, получаем итоговое выражение: 3[(16^(1/3) - 4^(1/3))(16^(2/3) + 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3))] / [(16^(1/3) - 4^(1/3))(16^(2/3) + 16^(1/3)*4^(1/3) + 4^(2/3))].
Таким образом, мы избавились от иррациональности в знаменателе в каждой из трех заданных дробей, используя метод рационализации знаменателя и дополнительные математические преобразования.
Ответить на вопрос
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:
а)
б)
в)
=======================================
Использованы формулы
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)