Состояние уравнения касательной к графику функции f(х)= -х^2-5х-6, который проходит через точку м(-1; 1), которая не принадлежит данному графику

Дана функция f(х)= -х^2-5х-6 и точка М(-1;1).

Касательная задается уравнением:

y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f (x₀)

Здесь f ’(x₀) — значение производной в точке x₀, а f (x₀) — значение самой функции.

Находим производную в точке х₀:

f'(x₀) = -2x₀ - 5.

Функция в точке х₀ имеет вид: f(x₀) = -х₀² - 5х₀ - 6.

Тогда уравнение касательной будет таким:

у = (-2х₀ - 5)*(х - х₀) - х₀² - 5х₀ - 6.

Раскроем скобки и приведём подобные:

у = -2х*х₀- 5х + 2х₀² + 5х₀ - х₀² - 5х₀ - 6.

у = х₀² -2х*х₀ - 5х - 6.

Так как касательная проходит через точку М, то подставим её координаты в полученное уравнение.

1 = х₀² + 2х₀ + 5 - 6.

Получаем квадратное уравнение х₀² + 2х₀ - 2 = 0.

Решаем его, считая х₀ как х.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: 

Ищем дискриминант:

D=2^2-4*1*(-2)=4-4*(-2)=4-(-4*2)=4-(-8)=4+8=12;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₁ = (√12-2)/(2*1) = √12/2-2/2 = √12/2-1 = √3 - 1 ≈ 0.73205081;

x₂ = (-√12-2)/(2*1) = -√12/2-2/2 = -√12/2-1 = -√3 - 1 ≈ -2.73205081.

Теперь, зная точки касания, можно составить уравнения касательных.

f'(x₀) = -2x₀ - 5 = -2(√3 - 1) - 5 = -2√3 - 3.

f(x₀) = -х₀² - 5х₀ - 6 = -(√3 - 1)² - 5(√3 - 1) - 6 = 

        = -(3 - 2√3 + 1) - 5√3 + 5 - 6 = -3√3 - 5.

y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f (x₀) = (-2√3 - 3)(x + 2√3 + 3) - 3√3 - 5.

После упрощения получаем общее уравнение первой касательной:

 0,8x - 1,73y + 2,54  = 0.
Аналогично получаем уравнение второй касательной:
11,2x + 1,73y + 9,46 = 0.

придётся немного поработать с «подбором»:

пусть сначала было k коробок, потом n, затем m.

тогда: 6k = 9n + 6,

а также

6k = 7m + 3.

или:

9n + 6 = 7m + 3.

выразим отсюда: n = (7m – 3)/9.

но n (равно как и k и m) должно быть целым. подбираем варианты:

m = 3 => n = 2; (m увеличиваем в каждом шаге на 9)

m = 12 => n = 9; k = 1,5n + 1 = 14,5.

m = 21 => n = 16; k = 24 + 1 = 25.

m = 30 => n = 23; k = 34,5.

m = 39 => n = 30; k = 45 + 1 = 46.

при k = 25 имеем: 6k = 150, это < 200.

при k = 46 получаем: 6k = 276.

то число подарков «подходит» под условие .

проверяем: 306 = 9•30 + 6 =276; 306 = 7•39 +3 = 276.

итак, число подарков было

придётся немного поработать с «подбором»:

пусть сначала было k коробок, потом n, затем m.

тогда: 6k = 9n + 6,

а также

6k = 7m + 3.

или:

9n + 6 = 7m + 3.

выразим отсюда: n = (7m – 3)/9.

но n (равно как и k и m) должно быть целым. подбираем варианты:

m = 3 => n = 2; (m увеличиваем в каждом шаге на 9)

m = 12 => n = 9; k = 1,5n + 1 = 14,5.

m = 21 => n = 16; k = 24 + 1 = 25.

m = 30 => n = 23; k = 34,5.

m = 39 => n = 30; k = 45 + 1 = 46.

при k = 25 имеем: 6k = 150, это < 200.

при k = 46 получаем: 6k = 276.

то число подарков «подходит» под условие .

проверяем: 306 = 9•30 + 6 =276; 306 = 7•39 +3 = 276.

итак, число подарков было