#1 представьте в виде произведения выражение: (2b-1)² - (b+2)² #2 докажите, что выражение x²-8x+18 принимает положительные значения при всех значениях x. !

#1 (2b-1)²-(b+2)²=(2b-1-b-2)(2b-1+b+2)=(b-3)(3b+1)

#2 x²-8x+18=x²-8x+16+2=(x-4)²+2 - квадрат числа всегда положительный.

1. 
А) (2+x)² = 4+4х+х²
Б) (4x-1)² = 16х² - 8х + 1
B) (2x+3y)²  = 4х² + 12ху + 9у²
Г) (х²-5)² = х⁴ - 10х² + 25
2. 
А) y²+10y+25 = (у+5)²
Б) 16x²-8xy+y² = (4х-у)²
3.
А) (5x+2)² - 20x = 25х² + 20х + 4 - 20х = 25х² + 4
Б) 27x² - 3(3x-1)² = 27х² - 3·(9х²-6х+1) = 27х² - 27х² +18х - 3 = 18х - 3 

1.
А) (10-х)² = 100 - 20х + х²
Б) (3x+0,5)² = 9х² + 3х + 0,25
В) (-4x+7y)² = 16х² + 2·(-4х)·7у + 49у² = 16х² - 56ху + 49у²
Г) (x²+y³)² = х⁴ + 2х²у³ + у⁶
2. 
А) y²+100 - 20y = у² - 20у + 100 = (у-10)²
Б) 49x²-42xy+9y² = (7х - 3у)²
3. 
А) (4x-2y)²+16xy = 16х² - 2·4х·2у + 4у² + 16ху = 16х² - 16ху + 4у² + 16ху = 
= 16х²+4у²
Б) 12x⁵ - 3(x⁵+2) = 12х⁵ - 3х⁵ - 6 = 9х⁵ - 6

Возможно в последнем в условии скобка в квадрате, тогда решение такое:

12x⁵ - 3(x⁵+2)² = 12х⁵ - 3(х¹⁰ + 4х⁵ + 4) = 12х⁵ - 3х¹⁰ - 12х⁵ - 12 = 
= - х¹⁰ - 12  

Основная теорема алгебры. Уравнение n-го степеня имеет n корней. Иными словами: каков старший степень - столько и корней (действительные и комплексные)

Решим к примеру уравнение в действительных корнях.

Рассмотрим функцию . Эта функция является возрастающей на всей числовой прямой.

Также рассмотрим правую часть уравнения: функцию . Графиком линейной функции является прямой, проходящей через точки (0;6), (-6;0).

графики пересекаются в одной точке, следовательно, уравнение имеет один действительный корень и 6 комплексно-сопряженные корни.

Возьмем теперь к примеру уравнение 

Если D>0, то квадратное уравнение имеет два ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ корня.

Если D=0, то квадратное уравнение имеет два равные корни.

Если D<0, то квадратное уравнение действительных корня не имеет, но имеет два комплексно сопряженных корня.