Разложите на множители: 1)81c²-d²+9c+d; 2)a²+8ab+16²-1; 3)ax(6маленькая)-3x(6маленькая)-ax³+3x³; 4)25-m²-12mn-36n²:

1)81c²-d²+9c+d=(9с)²-d²+9c+d=(9c-d)(9c+d)+(9c+d)=(9c+d)(9c-d+1);
2)a²+8ab+16-1=a²+2*4ab+4²-1=(а + 4b)²-1 =(а + 4b - 1)(а + 4b+1);
3)ax⁶-3x⁶-ax³+3x³=x³(ax³-3x³-a+3)=x³(x³(a-3)-(a-3))=x³(x³-1)(a-3);
4)25-m²-12mn-36n²=25-(36n²+12mn+m²)= 5²-(6n+m)²=(5-6n-m)(5+6n+m).

Решение

y = x³ + 3x²

1. Находим интервалы возрастания и убывания.

Первая производная.

f'(x) = 3x² + 6x

или

f'(x) = 3x*(x + 2)

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

3x*(x + 2) = 0

Откуда:

3x = 0

x₁ = 0

x + 2 = 0

x₂ = - 2

(-∞ ;-2) f'(x) > 0 функция возрастает

(-2; 0) f'(x) < 0 функция убывает

(0; +∞) f'(x) > 0 функция возрастает

В окрестности точки x = - 2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = - 2 - точка максимума.

В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума.

Объяснение:

Модуль означает, что знак числа попросту отбрасывается.
Чтобы избавиться от модуля, нужно рассмотреть два случая: когда выражение под знаком модуля неотрицательно (и тогда это модуль равен самому этому выражению), и когда выражение под знаком модуля отрицательно (и тогда это модуль равен выражению, взятому с обратным знаком).
1. Выражение под знаком модуля приравниваем нулю и решаем получившееся уравнение, чтобы узнать интервалы, на которых это выражение может менять свой знак.
х-4=0 → х=4.
2. Рассматриваем случай х<4
При этом выражение отрицательно, следовательно |x-4| = 4-x
-3|x-4|-x = -3(4-x)-x = -12+3x-x = 2x-12 = 2(x-6)
3. Рассматриваем случай x≥4
При этом выражение неотрицательно, поэтому |x-4| = х-4
-3|x-4|-x = -3(x-4)-x = -3x+12-x = -4x+12 = 4(3-x)
4. Объединяя два эти выражения, получаем