Имеется два сплава.в одном сплаве содержится 20% олова, в другом 30%олова.сколько килограммов первого и второго сплава нужно взять, чтобы получить 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова?

Решение. Пусть x и y – веса первого и второго сплавов соответственно. Тогда полу-

чаем систему:

(

x + y = 10

0, 2x + 0, 3y = 2, 7

⇔

(

x + y = 10

2x + 3y = 27

⇔

(

x = 3

y = 7.

ответ. 3 кг и 7 кг.

Если (х,у) - какое-то решение системы, то т.к. х встречается только в квадрате, то (-х, у) - тоже решение,  Значит количество решений системы всегда четное, за исключением случая, когда есть решение с х=0. В этом случае y=A, и A=√3 или A=-√3.
1) Если A=√3, то y=x²+√3,
(x²+√3)²+x²=3
x⁴+(2√3+1)x²=0
x²(x²+2√3+1)=0
x=0; x²+2√3+1=0 действительных корней не имеет.
Итак, в этом случае 1 решение.

2) Если A=-√3, то y=x²-√3,
(x²-√3)²+x²=3
x⁴+(-2√3+1)x²=0
x²(x²-2√3+1)=0
x=0; x²=2√3-1>0 - дает еще два решения.
Итак, в этом случае 3 решения.

Все это можно понять и из графиков. Первое уравнение задает окружность радиусом √3, а второе - параболу y=x² сдвинутую на А по оси Оу. В силу симметрии графиков относительно оси Оу, понятно что всегда будет четное количество решений (либо не будет вообще). 1 решение или 3 возможны только в случае, когда вершина параболы y=x²+A совпадает с верхней или нижней точкой окружности, т.е. при A=√3 или А=-√3. В первом случае, очевидно одно решение. А во втором не так очевидно, что 3 решения, но это проверяется, как я сделал выше. 

Если (х,у) - какое-то решение системы, то т.к. х встречается только в квадрате, то (-х, у) - тоже решение,  Значит количество решений системы всегда четное, за исключением случая, когда есть решение с х=0. В этом случае y=A, и A=√3 или A=-√3.
1) Если A=√3, то y=x²+√3,
(x²+√3)²+x²=3
x⁴+(2√3+1)x²=0
x²(x²+2√3+1)=0
x=0; x²+2√3+1=0 действительных корней не имеет.
Итак, в этом случае 1 решение.

2) Если A=-√3, то y=x²-√3,
(x²-√3)²+x²=3
x⁴+(-2√3+1)x²=0
x²(x²-2√3+1)=0
x=0; x²=2√3-1>0 - дает еще два решения.
Итак, в этом случае 3 решения.

Все это можно понять и из графиков. Первое уравнение задает окружность радиусом √3, а второе - параболу y=x² сдвинутую на А по оси Оу. В силу симметрии графиков относительно оси Оу, понятно что всегда будет четное количество решений (либо не будет вообще). 1 решение или 3 возможны только в случае, когда вершина параболы y=x²+A совпадает с верхней или нижней точкой окружности, т.е. при A=√3 или А=-√3. В первом случае, очевидно одно решение. А во втором не так очевидно, что 3 решения, но это проверяется, как я сделал выше.