Решите. ( если перед числом ^, то это число в степени) 1. выражение: а) с^4∙ с^7: c^9 б) ( а^4)^3 ∙ а в) ( -2х)^4 г) – 2, 5 а-2в^3 ∙ 4а^7в-5. 2.выполнить действия а) (2х2 – 3х) – (5х – х2) б) – 3х(2х – 1) в) (3 – у2)(у – 4) 3. решить уравнение х2 – (х + 4)(х – 4) = 2х 4. найти значение выражения (х – 2)2 + 4х при х = - 1_ 2 . 5. найти три последовательных натуральных числа, если квадрат наименьшего из них на 20 меньше произведения двух других.

1) с^4∙ с^7:c^9=х2

( а^4)^3 ∙ а =х13

( -2х)^4=16х4

– 2,5 а-2в^3 ∙ 4а^7в-5=-2,5а-8а7в4-5

2) (2х2 – 3х) – (5х – х2)=2х2-3х-5х+х2=3х2-8х

– 3х(2х – 1)=-3х*2х-3х(-1)=-6х2+3х

(3 – у2)(у – 4)=3у-12-у3+4у2=-у3+4у2+3у-12

3) х2 – (х + 4)(х – 4) = 2х

х2-(х2-16)=2х

х2-х2+16=2х

16=2х

2х=16

х=8

4) (х – 2)2 + 4х при х = - 12

2(х-2+2х)=2(3х-2)

2(3*(-12)-2)=2(-36-2)=2(-38)=-76

5)

х2=(х+1)(х+2)-20

х2=х2+3х-18

3х=18

х=6

ответ 6,7,8

Пусть в  период военных учений было создано  n  командных пунктов.  Тогда у 1-го пункта  было  (n-1)  линий связи,  у 2-го  -   (n-2),  у  3-го   -  (n-3),.....у (n-1)-го  было  (n-(n-1))=1 линия связи
Всего  (n-1)+(n-2)+(n-3)+...=120
Получити арифметическую прогрессию,  где  первый член  (n-1),  разность  -1,  число членов  (n-1) .   По формуле  S=(2a₁+d)n/2 найдем сумму  (2(n-1)-(n-1))n/2=120
Умножим  обе части уравнения на 2, перенесем все в одну сторону

D=961,  n=16  или  n=-15  -  не удовлетворяет условию задачи
ответ:  16

Даны парабола y = x² - 5х + 6 и прямая y = -x + 1.

Вычтем первого уравнения второе и получим функцию зависимости расстояния по оси «у» между заданными линиями:

f(x) = x² - 4x + 5.

Найдём производную этой функции для определения экстремума.

f'(x) = 2x - 4.

Приравняем нулю:

2х - 4 = 0.

х = 4/2 = 2.

Найдём знаки производной f'(x) = 2x - 4.

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.

Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точка минимума.

х =     1     2     3

y' =   -2     0     2.

Поэтому в точке х = 2 имеем минимум функции.

Если по оси у расстояние между линиями минимально, то оно и по оси х будет тоже минимальным.

Находим вертикальное расстояние по разности ординат:

параболы у(2) = 2² *5*2 + 6 = 0,

прямой     у(2) = -1*2 + 1  = -1.

Δу = 0-(-1) = 1.

Расстояние d по перпендикуляру к прямой равно:

d = Δy*cos α.

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох равен -1 (по уравнению у = кх + в, где к это тангенс угла).

cos α = 1/√(1+tg²α) = 1/√(1+1) = 1/√2 = √2/2.

Отсюда получаем ответ:

d = 1*(√2/2) = √2/2 ≈ 0,7071.

Аналогичный ответ можно получить, если точку минимального расстояния от параболы до прямой найти с касательной, угловой коэффициент (и значение производной) которой равен -1 (как у заданной прямой).

Получаем 2х - 5 = -1, х = 4/2 = 2. Это точка с минимальным расстоянием до прямой у = -х + 1.

Далее через точку х = 2 проводим нормаль к прямой и ищем точку пересечения. По разности координат находим длину перпендикуляра - то есть наименьшего расстояния.