Решите уравнение 2arctgx+3arcctgx=5

Множество значений функции arcctg(x) - первая и вторая четверти.

Угол   (5-π) ≈ 1,86   радиан относится ко второй четверти.

===================================

Использованы формулы

ответ: a ∈ (-1; -2/3) ∪ (-2/3; -1/3)

Объяснение:

(1 + a)ctg²x - (2a + 4)/sin x + 1 - 7a = 0

(1 + a)(1/sin²x - 1) - (2a + 4)/sin x + 1 - 7a = 0

Замена: 1/sin x = t

(1 + a)(t² - 1) - (2a + 4)t + 1 - 7a = 0

(1 + a)t² - (2a + 4)t - 1 - a + 1 - 7a = 0

(1 + a)t² - (2a + 4)t - 8a = 0

При а = -1:

-2t + 8 = 0

t = 4

sin x = 1/4, x ∈ (0; π/2)

x = arc sin 1/4 - единственное решение.

а = -1 - не подходит.

При а ≠ -1:

D = (2a + 4)² + 32a(1 + a) = 4a² + 16a + 16 + 32a + 32a² = 36a² + 48a + 16 = (6a + 4)²

t = (2a + 4 ± (6a + 4)) / 2(1 + a)

t₁ = -4a/ 2(1 + a) = -2a/(1 + a)

t₂ = (8a + 8)/ 2(1 + a) = 4

1/sin x = -2a/(1 + a)

1/sin x = 4

sin x = -(1 + a) / 2a, x ∈ (0; π/2)

sin x = 1/4, x ∈ (0; π/2)

Уравнение будет иметь более одного решения при выполнении двух условий:

0 < -(1 + a) / 2a < 1

-(1 + a) / 2a ≠ 1/4

-2 < (1 + a)/a < 0

(1 + a)/a ≠ -1/2

-2 < 1/a + 1 < 0

1/a + 1 ≠ -1/2

-3 < 1/a < -1

1/a ≠ -3/2

-1 < a < -1/3

a ≠ -2/3

a ∈ (-1; -2/3) ∪ (-2/3; -1/3)

2)y=-3
3)f`(x)=39x²-7x
f`(0)=0
f`(-1)=39+7=46
f`(0)+f`(-1)=0+46=46
4)y`=-2x/2√(x²+1)³=-1/√(x²+1)³
5)y`=24(1/3x-64)^23 * 1/3=8(1/3x -64)^23
6)y`=1/cos²x
y`(π/3)=1/cos²π/3=1:1/4=4
7)tga=f`(x0)
f`(x)=6x²-5
f`(2)=6*4-5=24-5=19
tga=19
8)f(x)=x^8 -1
f`(x)=8x^7
9)y`=8cos3x*(-sin3x)*3=-24cos3xsin3x=-12sin6x
10)f(x)=1-4x²
f`(x)=-8x
f`(0,5)=-8*0,5=-4
11)y(1)=1+1=2
y`=4x³+1
y`(1)=4+1=5
Y=2+5(x-1)=2+5x-5=5x-3
12)f(1)=1
f`(x)=1/(2√x)
f`(1)=1/2
Y=1+1/2(x-1)=1+1/2x-1/2=1/2x+1/2
Y(31)=1/2*31+1/2=32*1/2=16
13)f`(x)=9-x²≥0
x²=9
x=+-3
               _                +                  _

                       -3                    3
x∈[-3;3]
14)(√x-4/√x)`=1/2√x +2/√x³=(x+4)/2√x³