100 ! найдите все натуральные n, для которых каждое число, записываемое с n-1 единицы и одной семерки является простым. (например, число 1711 к таким не относится, т.к. равно 29*59

1 и 2.

Объяснение:

Их всего два: n=1, получается простое число 7 (0 единиц);

n=2, получаются простые числа 17 и 71 (1 единица).

При n=3 будут числа 117, 171 и 711, которые делятся на 3.

При n=4 будет 1711=29*59, как и сказано в условии.

При n=5 будет 11711=7*1673

При n=6 будут опять числа, кратные 3.

При ещё больших n тем более хотя бы одно из чисел вида 11...1711..1 окажется составным.

Cos²x -cosx -2 > 0 ;  * * * замена   cosx =t  ; |t|≤1 * * *
t² -t -2 >0 ;
(t+1)(t -2) >0 ;
    +         -          +
 (-1) 2

t∈( -∞ ; -1) U (2 ; ∞) . ⇒ cosx  ∈ ( -∞ ; -1) U (2 ; ∞)  невозможно .

ответ: x ∈  ∅ .

sin²x - 2sinx -3 < 0  ;  замена  sinx =t  ; |t|≤1 * * *
t² -2t -3 < 0 ;
(t+1)(t -3) <0 ;
    +          -          +
 (-1) 3
t∈( -1;3)  ⇒ sinx   ∈ ( -1; 3)  учитывая  что sinx ≤1 получается
sinx   ∈ ( -1; 1] .

ответ:   для всех  x ≠ - π/2 +2πk  , k∈Z.

x ∈ R  \  {. -π/2 +2πk  , k∈Z } 

Общий ход построения данных графиков:
График   -  прямая, для построения требуется две точки. Чертим координатную плоскость, подписываем оси и отмечаем положительное направление стрелками: вправо  по оси х и вверх по оси у.  Отмечаем  центр – точку О и единичные отрезки по обеим осям в 1 клетку. Далее заполняем таблицу (для каждого графика свою, приведена ниже):
Х=
У=
Отмечаем точки в системе координат, проводим через них прямую.
Подписываем график.
Всё!             
Итак, начнём:

у=-4х  - прямая,  проходящая через начало координат , поэтому достаточно ещё одной точки, например х=1, у= -4 , ставим  точку (1;-4) и проводим прямую через эту точку и начало координат.

у=х+4 
х= 0   -2
у= 4    2

у=3-х  
х= 0    3
у= 3    0

у=3х+2  
х= 0    -2
у= 2     -4