Найдите остаток при деление числа 3^86 на число 5(решение)

Последние цифры в степенях тройки чередуются в порядке:

1; 3; 9; 7:

3⁰ = 1    3¹ = 3    3² = 9    3³ = 27   3⁴ = 81 и т.д.

Очевидно, что степень тройки 3⁴ⁿ будет оканчиваться на единицу.

Тогда:

3⁸⁶ : 5 = (3⁴)²¹ · 3² : 5

Так как число (3⁴)²¹ оканчивается на единицу, то число (3⁴)²¹ · 3² оканчивается на 9 и остаток при делении этого числа на 5 будет равен 4.

Везде n, k - произвольные целые числа.

1) a) -1 <= cos(...) <= 1 - очевидно, что это необходимое и достаточное условие, тогда x = pi/4 +- arccos(2a - 7) + 2pi n
-1 <= 2a - 7 <= 1
6 <= 2a <= 8
3 <= a <= 4
б) котангенс может принимать любые значения, значит, единственное ограничение - это a - 1 >= 0, т.к. модуль неотрицателен.
a - 1 >= 0
a >= 1

2) а) Аналогично 1а), sin принимает значения от -1 до 1.
-1 <= a - 3 <= 1
2 <= a <= 4

При этих a можно записать 
x/2 = (-1)^k arcsin(a - 3) + pi k
x = (-1)^k 2arcsin(a - 3) + 2pi k
ответ. при 2 <= a <= 4 x = (-1)^k 2arcsin(a - 3) + 2pi k; при остальных a решений нет.
б) |tg 2x| = 5a + 6
5a + 6 >= 0 - т.к. это значение модуля
a >= -6/5

При этих a левая и правая часть неотрицательны, возведем в квадрат:
tg 2x = +-(5a + 6)
2x = +-arctg(5a + 6) + pi k
x = +-arctg(5a + 6)/2 + pi k/2

Y=2x²-x⁴-1
x=0 y=-1
ни четная ни нечетная, обл.определения (-∞;∞)
обозначим z=x²  2z-z²-1=0  z²-2z+1=0    (z-1)²=0  z=x²=1   x=+-1 ³корни.
y'=4x-4x³   y'=0   x(1-x²)=0   критические точки 0, -1, 1

------------- -1------------------0-------------------1-------------→y'
      +                       -                      +                    -
    возр.             убывает            возр.         убывает 
x=-1 max y=2-1-1=0   x=0 min y=-1  x=1 y max=0

y''=4-12x²   y''=0   12x²=4    x1=+-2/√12=+-1/√3    точки перегиба.
при   -1/√3< х<1/√3 выпукла вниз на прочих участках-вверх.