Найдите числовое выражения 2а(а^2+б^2)-а(а-б)^2+а(б+а)^2-2а^3 при а=-3/2; б=-0, 25 ​

2a(а²+b²)-а(а-b)²+а(b+а)²-2а³ при а=-3/2;b=-0,25

2a(а²+b²)-а(а-b)²+а(b+а)²-2а³=2a³+2ab²-a(a²-2ab+b²)+a(b²+2ab+a²)-2a³=

2a³+2ab²-a³+2a²b-ab²+ab²+2a²b+a³-2a³=2ab²+4a²b=2ab(b+2a)

2ab(b+2a)=2*-1,5*(-0,25)*(-0,25+2*(-1,5))=0,75*(-3,25)= -2,4375

)

ОДЗ:  х≠0

\begin{gathered}x+ \frac{3}{x}+4 \leq 0 \\ \\ \frac{x^2+4x+3}{x} \leq 0 \end{gathered}x+x3+4≤0xx2+4x+3≤0

Раскладываем на множители:

x²+4x+3=0

D=4² -4*3=16-12=4

x₁=(-4-2)/2= -3

x₂=(-4+2)/2= -1

x² +4x+3=(x+3)(x+1)

\frac{(x+3)(x+1)}{x} \leq 0x(x+3)(x+1)≤0

Используем метод интервалов:

x(x+3)(x+1)≤0

x=0       x+3=0         x+1=0

             x= -3           x= -1

       -                +                 -                  +

-3  -1 0 

                       

x= -4         -    -    -  | -

x= -2         -    +   -  | +

x= -0.5      -    +   + | -

x= 1          +   +   + | +

С учетом ОДЗ  x∈(-∞; -3]U[-1; 0)

ответ: (-∞; -3]U[-1; 0).

2)

ОДЗ: x≠0

\begin{gathered}x- \frac{8}{x}-2\ \textgreater \ 0 \\ \\ \frac{x^2-2x-8}{x}\ \textgreater \ 0 \end{gathered}x−x8−2 \textgreater 0xx2−2x−8 \textgreater 0

Разложим на множители:

x²-2x-8=0

D=(-2)² -4*(-8)=4+32=36=6²

x₁=(2-6)/2= -2

x₂=(2+6)/2=4

x²-2x-8=(x+2)(x-4)

\frac{(x+2)(x-4)}{x}\ \textgreater \ 0x(x+2)(x−4) \textgreater 0

Метод интервалов:

x(x+2)(x-4)>0

x=0    x= -2       x=4

       -               +                 -                +

-2  0 4 

                                       

x= -3              -   -    -  |  -

x= -1              -   +   -  |  +

x= 1               +  +   -  |  -

x= 5               +   +  +  |  +

С учетом ОДЗ: x∈(-2; 0)U(4; +∞)

ответ: (-2; 0)U(4; +∞).

3) x²(x+3)>0

Метод интервалов:

x=0        x= -3

         -               +                +

-3 0

                     

x= -4     +   -  |  -

x= -1     +  +  |  +

x= 1      +  +  |  +

x∈(-3; 0)U(0; +∞)

ответ: (-3; 0)U(0; +∞).

4)

(x-1)²(x-5)≤0

Метод интервалов:

x=1            x=5

     -              -                +

1 5 

   

x=0      +   -   |   -

x=2      +   -   |   -

x=6      +   +  |   +

x∈(-∞; -5]

ответ: (-∞; -5].

5)

(x+3)²(x²-10x+21)≥0

Разложим на множители:

x²-10x+21=0

D=(-10)² -4*21=100-84=16=4²

x₁=(10-4)/2=3

x₂=(10+4)/2=7

x²-10+21=(x-3)(x-7)

Метод интервалов:

(x+3)²(x-3)(x-7)≥0

x= -3     x=3      x=7

      +              +               -              +

-3 3  7

                   

x= -4     +   -   -   |   +

x= 0      +   -   -   |   +

x= 4      +   +  -   |   -

x= 8      +   +  +  |   +

x∈(-∞;3]U[7; +∞)

ответ: (-∞; 3]U[7; +∞)

6)

(x-1)(x²-7x+6)≥0

x∈(-6; 1)

ответ: (-6; 1).

8)

(x-4)³(7x-x²-10)≤0

-(x-4)³(x²-7x+10)≤0

(x-4)³(x²-7x+10)≥0

Разложим на множители:

x² -7x+10=0

D=(-7)² -4*10=49-40=9=3²

x₁=(7-3)/2=2

x₂=(7+3)/2=5

x²-7x+10=(x-2)(x-5)

Метод интервалов:

(x-4)³(x-2)(x-5)≥0

x=4    x=2     x=5

      -               +               -                +

 2 4  5

                                     

x=0     -   -   -   |   -

x=3     -   +  -   |   +

x=4.5  +  +  -   |   -

x=6     +  +  +  |   +

x∈[2; 4]U[5; +∞)

ответ: [2; 4]U[5; +∞).

1)
База индукции: 1

проверено.

Предположим, что утверждение верно для n=k.

Покажем, и докажем, что утверждение верно так же для n=k+1.

Так как , следуя предположению  то прибавив к данному выражению d. Мы получим  следующий член .
Т.е. предположение верно. Ч.Т.Д.

2)

База : 1
Проверка: . 

Предположение: 

Теперь покажем и докажем, что данное выражение верно и при :

Так как предыдущий член был равен k, то что бы узнать сумму первых k+1 членов, достаточно прибавить  k+1 член (используя формулу которую мы доказали ранее):

т.е. мы пришли к изначальной формуле, если туда подставить k+1. Ч.Т.Д.

3)
Это не формула общего члена, это формула суммы.
При 
получается деление на ноль, поэтому сразу пишем 
База: 1

Предположим, что формула верна для: 
Покажем и докажем что формула верна для :
Как и с суммой арифм.прогрессии. Мы добавим k+1 член к сумме.

Ч.Т.Д.