Расстояние между двумя городами, равное 90 км, легковой автомобиль проезжает на 1, 5 ч быстрее, чем грузовой. Найти скорости автомобилей, если грузовой за 3 ч проезжает на 30 км больше, чем легковой за 1 ч.

30 км/ч ; 60 км/ч

Задача на движение.

1. {4x²+5x-6 > 0
{4x > 0

1) 4x²+5x-6 > 0
D = 25+96 = 121
x₁,₂ = (-5⁺₋11)/8 = 0,75;  -2

      +              -                 +
₀₀>x
-2              0,75

2) 7x > 0
x > 0
 
 ₀> x  
                 0   

3)
  -2                           0,75
 ₀₀₀> x   
                                  0
x∈(0,75; ∞)        

2. {х²-16 < 0
{2x ≥ 18

1) x²-16 < 0
(x-4)(x+4) < 0
x₁ = 4; x₂ = -4

      +           -          +
₀₀> x
          -44

2) 2x ≥ 18
x ≥ 9

.>x
                  9

3)
        -44
₀₀.>x
                                 9
Система решений не имеет

Вначале докажем, что среднюю линию можно провести через любую точку из этих 600. Действительно, проведем прямую через любые 2 точки (допустим О и X), выберем на ней положительное направление вдоль вектора , точку О  будем считать началом координат. Т.е. мы получили ось ОХ, которая разбивает всю плоскость на верхнюю и нижнюю полуплоскости. Если в каждой полуплоскости лежит по 299 точек, то это и есть средняя линия. Если в верхней полуплоскости n точек, а в нижней m и, допустим, m<n, то повернем прямую ОХ вокруг точки О против часовой стрелки до тех пор, пока она первый раз не пройдет через другую точку ( допустим Y). В результате такого поворота, количество точек в каждой полуплоскости либо останется неизменным, либо уменьшится на 1, либо увеличится на 1. Это так, потому что никакие 3 точки не лежат на одной прямой. Причем, если в одной полуплоскости число точек увеличилось на 1, то во второй - уменьшилось на 1, т.к. общее количество точек 598 (не считая тех двух, через которые проходит прямая) остается неизменным. Это значит, что после такого поворота разность между количеством точек в верхней и нижней полуплоскости либо не изменилась, либо уменьшилась/увеличилась на 2.

Так мы продолжаем поворачивать прямую вокруг точки О, проводя ее через следующие точки, до тех пор, пока она не повернется на 180 градусов и вернется в первоначальное положение. Теперь она проходит через те же точки  О и Х, только теперь положительное направление оси смотрит в противоположную от Х сторону. В этой ситуации в верхней полуплоскости будет находиться, наоборот, m точек, а в нижней - n. Т.е. число точек в верхней полуплоскости уменьшалось с n до m с шагом не более 1, а в нижней полуплоскости увеличивалось с m до n тоже с шагом не более 1. Соответственно начальная разность  n-m между количеством точек в верхней полуплоскости и нижней стала теперь m-n. Заметим, что т.к. m+n=598 - четное число, то n-m - тоже четное и, т.к. разность количеств точек в полуплоскостях изменялась с шагами -2,0,2 с величины n-m до m-n, то в какой-то момент она была равна 0.  Это значит, что было положение, когда количество точек в обеих полуплоскостях было одинаковым, т.е. - это и была средняя линия проходящая через точку О. Итак, количество средних линий не меньше, чем количество непересекающихся пар точек, т.е. не меньше 300 (т.к. через каждую точку проходит средняя линия, и одна прямая проходит ровно через 2 точки).

Если точки расположены в вершинах правильного 600-угольника, то понятно, что средние линии - это прямые, соединяющие диаметрально противоположные  точки. Их как раз 300 штук.