01 найдите производные 1 .y=2ₓ²+`3ₓ⁴-2ₓ-72, y = cosx- sinx+sin2 )Вычислите y(1)y(x)=2x3-3x2+2x-73) Найти первообразные.⌠(x)=x3+2x5-3= 14 вычислить a )∫xdx 0 1б )∫ x2dx -1 5 ) ∫ cosxdxб ∫dx ― sin2xизвините за стольглупое написание , впервые тут нужна

Функции  и построить ее график.

1) Функция определена всюду, кроме точек .

2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.

3) Функция не периодическая.

4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.

5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , . Попутно отметим, что прямая  – вертикальная асимптота.

6) Находим  и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).

В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2.

Найти первую производную функции

Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения.

7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке (0, ) и y”<0 на (, +∞), следовательно, на (0, ) кривая вогнута и выпукла на (, ∞).

Найти вторую производную функции

8) Выясним вопрос об асимптотах.

Наличие вертикальной асимптоты  установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты: , , следовательно, y=-x – наклонная двусторонняя асимптота.

9) Теперь, используя полученные данные, строим чертеж:

Объяснение:

1) x^3-3x^2-4x=0                  2)3x^3-8x^2+14x=0

   x(x^2-3x-4)=0                       x(3x^2-8x+14)=0

   X1=0 (x^2-3x-4)=0               Х1=0 (3x^2-8x+14)=0

   X2,3=(3±√9+16)/2               X2,3=(8±√64-168 Дискриминант∠ 0

   X2=4 X3=-1                          Корней Х2,3 нет

Отв: X1=0 X2=4 X3=-1           Отв. Х1=0

3)(2х-1)^4-x^22=0                    4)  x^4-x^2+2x=1

  ((2x-1)^2-x)((2x-1)^2+x)=0          x^4-x^2+2x-1=0

(4x^2-4x+1-x)(4x^2-4x+1+x)=0      x^4-(x^2-2x+1)=0

(4x^2-5x+1)(4x^2-3x+1)=0              x^4 -(x-1)^2=0

X1,2=(5±√25-16)/8                         (x^2-x+1)(x^2+x-1)=0

x1,2=(5±3)/8                                    x1,2=(1±√1-4  D∠0 КОРНЕЙ НЕТ

x1=1 X2=0,25                                   х3,4=(-1±√1+4)/2

x3,4=3±√9-19                                  X3=(-1÷√5)/2  X4=(-1-√5)/2

D∠0 корней Х3 и Х4 нет

Отв. Х1=1 Х2=0,25                     Отв. X3=(-1÷√5)/2  X4=(-1-√5)/2

5) x^4-7x^2+3=0                       6)x^4-9x^2-10=0 x^2=t, t≥0

x^2=t, t≥0                                     t^2-9t-10=0

t^2-7t+3=0                                    t1,2=(9±√81=40)/2

t=(7±√49-12)/2 t=(7±√37)/2        t=(9±11)/2

X^2=(7±√37)/2                             9-11/2∠0    t=20

X1=±√(7+√37)/2                           x^2=10       X=±√10

X2=±√(7-√37)/2                            Отв. х=±√10

Отв.X1=±√(7+√37)/2

       X2=±√(7-√37)/2