проинтегрировать выражение с разделяющимися переменными.

Найдем разность между двумя соседними членами.

Из выражения для разности очевидно, что сама разность положительна - числитель и знаменатель положительны. Тогда последовательность возрастающая.

Я утверждаю, что все члены не больше 3/5. Действительно, cn < 3n / 5n = 3/5 (я уменьшила знаменатель и увеличила числитель, от этого дробь стала больше). Для успокоения можно всё написать по-честному:


К слову, удалось доказать, что искомый предел равен 3/5: понятно, что 17/(25n + 20) стремится к нулю при больших n. А по определению число А называется пределом последовательности xn, если |xn - A| стремится к нулю.

Найти предел можно было и так: разделим числитель и знаменатель на n

√ ( X + 5) - √ ( 2X - 3 ) = √ ( 4X - 1 ) 
( √ X + 5) - √ ( 2X - 3) )^2 = ( √ 4X - 1 )^2 
4X - 1 = ( X + 5) + ( 2X - 3) - 2 * √ ( X + 5)*( 2X - 3 )
4X - 1 = 3X + 2 - 2 √ (2X^2 + 7X - 15) 
3X + 2 - 4X + 1 = 2 √ ( 2X^2 + 7X - 15) 
- X + 3 = 2 √ ( 2X^2 + 7X - 15) 
- 0,5X + 1,5 = √ ( 2X^2 + 7X -  15) 
( 1,5 - 0,5X )^2 = ( √ 2X^2 + 7X - 15)^2 
2,25 - 1,5X + 0,25X^2 = 2X^2 + 7X - 15 
2X^2 - 0,25X^2 + 7X + 1,5X - 15 - 2,25 = 0 
1,75X^2 + 8,5X - 17,25 = 0 
D = 72,25 + 120,75 = 193 
√ D = √ 193 = 5 √ 7,72 
X1 = ( - 8,5 + 5 √ 7,72 ) : 3,5 
X2 = ( - 8,5 - 5 √ 7,72 ) : 3,5