5x^2-9x+4<0 Решить методом интервалов

Для решения данного неравенства методом интервалов, мы будем искать интервалы, при которых выражение внутри скобок меньше нуля.

1. Начнем с того, что решим уравнение, которое получится при приравнивании выражения внутри скобок к нулю:
5x^2 - 9x + 4 = 0

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать метод дискриминанта. Дискриминант для этого уравнения равен D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4(5)(4) = 81 - 80 = 1.

2. Теперь разберемся с знаками коэффициентов перед членами выражения внутри скобок. Обратим внимание на первое слагаемое 5x^2. Коэффициент а здесь положительный, поэтому это означает, что график параболы будет направлен вверх.

3. Последний шаг - построение числовой прямой и отметка интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Так как дискриминант D равен 1, это означает, что у уравнения есть два действительных корня. Обозначим эти корни как x1 и x2. Мы можем найти эти значения, используя формулу корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / 2a.

x1 = (-(-9) + √1) / (2(5)) = (9 + 1) / 10 = 10 / 10 = 1
x2 = (-(-9) - √1) / (2(5)) = (9 - 1) / 10 = 8 / 10 = 4 / 5 = 0.8

Теперь разделим числовую прямую на интервалы, используя эти точки:

-∞ ----- 0.8 ----- 1 ----- +∞

Теперь нам нужно определить, в каких интервалах выражение 5x^2 - 9x + 4 меньше нуля.

a) Рассмотрим интервал (-∞, 0.8): Подставим произвольное число из этого интервала, например, x = -1. Выполним вычисления:
5(-1)^2 - 9(-1) + 4 = 5 - (-9) + 4 = 5 + 9 + 4 = 18
Так как получили положительное число, это означает, что выражение больше нуля в данном интервале.

b) Рассмотрим интервал (0.8, 1): Подставим произвольное число из этого интервала, например, x = 0.9. Выполним вычисления:
5(0.9)^2 - 9(0.9) + 4 = 5(0.81) - 8.1 + 4 = 4.05 - 8.1 + 4 = 0.05
Так как получили положительное число, это означает, что выражение больше нуля в данном интервале.

c) Рассмотрим интервал (1, +∞): Подставим произвольное число из этого интервала, например, x = 2. Выполним вычисления:
5(2)^2 - 9(2) + 4 = 20 - 18 + 4 = 6
Так как получили положительное число, это означает, что выражение больше нуля в данном интервале.

Все интервалы, которые мы рассмотрели, дают положительные значения выражения 5x^2 - 9x + 4, поэтому неравенство 5x^2 - 9x + 4 < 0 не имеет решений.

Ответ: Данное неравенство не имеет решений.