Найти объём тела, поверхность которого образуется вращением дуги окружности x^2+y^2=25 и прямых 3x-4y=0, x=0, вокруг оси oy.

найдем точки пересечения прямой и окружности:

 

 

x = +/-4

найдем точки пересечения дуги окружности и оси ох:

 

x = +/-5

объем тела вращения будет вычисляться как интеграл в пределах [-5; 4] (исходя из рисунка)

 

 

 

замена:

u = 25-x^2

du = -2xdx

xdx = -0.5du

u1 = 25-x1^2 = 25-25 = 0

u2 = 25-x2^2 = 25-16 = 9

 

 

 

При  пересечении двух прямых образуется 4 угла, которые попарно равны. это вертикальные углы. а которые не равны - те смежные, в сумме 180°. а)  один  угол = второй угол = 48°,  третий = четвертый = 180° - 48° = 132°. б)  сумма  двух углов равна 156° - значит, это вертикальные  углы,  и каждый равен  156°/2 = 78°. а два другие угла равны 180° - 78° = 102°. в)  сумма  трех углов равна 232°, из них обязательно будет два смежных. третий угол равен 232°-180° = 52°. значит, смежные равны 180°-52° = 128°. проверяем  сумму  трех углов: 52° + 128° + 52°  = 232°. все правильно.

Собственная скорость катера   vc=  х   км/ч по течению: расстояние   s₁= 12   км скорость   v по теч. = (x+4)   км/ч время         t₁= 12/(х+4)   ч. против течения: s₂= 4 км v против теч. =   (х-4) км/ч время   t  ₂= 4/(x-4)   ч. по условию : t₁+t₂ = 2 ч. уравнение. 12/(х+4)   + 4/(х-4) = 2           | *(x-4)(x+4) знаменатели  ≠0   ⇒  х≠-4   ; х≠4 12(x-4) +4(x+4) = 2(x-4)(x+4) 12x- 48 +4x+16 = 2(x²-4²) 16x-32= 2x² - 32 2x² -32 -16x +32=0   2x²-16x=0 2x(x-8)=0 произведение =0 , если один из множителей =0 2х=0                 х₁=0       не удовл. условию   (vc <   vтеч.) х-8=0 х₂=8   (км/ч)   vc  ответ: 8 км/ч собственная скорость катера .