1. Найдите длину окружности, радиус которой равен 3 см. 2.Найдите площадь круга, радиус которого равен 7 см. 3. Чему равен радиус окружности, длина которой равна 3 Пи см? 4.Радиус окружности уменьшили: а) в 4 раза, б на 4 см. Как при этом изменилась длина окружности? 5.Радиус круга увеличили в 8 раз. Как при этом изменилась площадь круга? 6.Найти длину окружности и площадь круга, описанных около квадрата со стороной 8 см. 7.Найти длину окружности с радиусом 5 см. Чему равна длина ее дуги с градусной мерой 36 градусов? 8. Длина окружности, описанной около квадрата, равна 12 Пи см. Найдите длину окружности, вписанной в этот квадрат.

1.78

2. 15

3.91пи

4.65,43

5.78

6.72

7.ровно78

8.93 пи см.

Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.

1-ое свойство, которое понадобится

То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.

2-ое свойство, которое нам понадобится:

То есть довольно аналогичная вещь в произведении

На нашем примере все увидим

Находим остатки по модулю 31

Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32

Учитываем, что , получаем

То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым

Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.

То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.

  Насчитал 231 

-----------1---------2-------------3-----------4---------6-----------6----------

--------------1---------2------3------4---------------5-------------6--------------7---------

Случай 1   Одна вершина на верхней прямой (аналогично для другого варианта)
Подсчитаем количество треугольников с вершиной 1 (на верхней прямой) Обозначим треугольники цифрами
112   113   114   115  116  117
 123   124  125   126  127
134   135   136   137
145   146   147
156   157 
167  Всего 21*126
   Случай 2 15*7=105