1. Разложите на множители: 1) 7ху+у^2; 2) 2а^2в+4ав^2; 3) 2а^2в^2-6ав^3+2а^3в; 4) 5х(а-в)-(а-в 2. Разложите на множители: 1) 3ав+3в+ас+с; 2) 4ар+2а-2р^2-р. 3. Разложите на множители: 1) a^9 – b^3; 2) 0, 25a^2 – 1; 3) 1 +12p+36p^2; 4) 4/9 а^2-2ав+ 9/4в^2 4. Решите уравнение: 1) 4у^2-49=0. 2) (в-7)^2-9в^2=0; 5. Вычислите: 6. У выражение: (3 +2х )^2 – (5 + 2х)∙(2х – 5).

попробуй скачать прогу Photomath, там фотографируешь, и выходит ясное и подробное решение!

Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения – это квадратные уравнения, у которых коэффициент в или коэффициент с равен нулю. Возможно три варианта неполных уравнений:

Коэффициент b=0

Коэффициент с=0

Коэффициенты b=0 и с=0

Рассмотрим каждый из вариантов и решим несколько примеров.

Виды неполных квадратных уравнений

Каждый подвид уравнения решается быстро и Главное владеть навыком преобразования выражения, а именно переносом чисел из одной части тождества в другую и выносом общего множителя за скобку.

Первый случай

Если коэффициент b=0. Тогда формула неполного квадратного уравнения принимает вид:

ax2+с=0ax2+с=0

ax^2+с=0

В таком случае, решение принимает следующий вид:

ax2+с=0ax2+с=0

ax^2+с=0

ax2=−сax2=−с

ax^2=-с

x2=−сax2=−сa

x^2=-с\over{a}

x1=−сa−−−√x1=−сa

x_1=\sqrt{-с\over{a}}

x2=−−са−−−√x2=−−са

x_2= -\sqrt{-с\over а}- обратите внимание, что под корнем может оказаться как положительное, так и отрицательное число. Знак минуса в данном случае указывает на противоположность. В случае, если под корнем в результате получится отрицательное число, то действительных корней уравнение не имеет.

Решим пример:

7x2−28=07x2−28=0

– перенесем 28 в правую часть выражения.

7x2=287x2=28

– разделим обе части выражения на 7.

x2=4x2=4

x1=2x1=2

x2=−2x2=−2

Вот и все решение.

Второй случай

Во втором случае нулю равен будет коэффициент с. Тогда уравнение примет вид:

аx2+bx=0аx2+bx=0

аx^2+bx=0

В этом случае, решение будет выглядеть немного иначе:

ax2+bx=0ax2+bx=0

ax^2+bx=0

x(ax+b)=0x(ax+b)=0

x(ax+b)=0

x1=0x1=0

x_1=0

ax2+b=0ax2+b=0

ax_2+b=0

ax2=−bax2=−b

ax_2=-b

x2=−ba

Решим небольшой пример.

3x2−12x=03x2−12x=0

x(3x−12)=0x(3x−12)=0

x1=0x1=0

3x2−12=03x2−12=0

3x2=123x2=12

x2=123x2=123

x2=4

Этот иногда используется и при решении полных квадратных уравнений. Если уравнение можно свернуть по любой из формул сокращенного умножения, то потом каждую из скобок-множителей можно приравнять к нулю и решить уравнение гораздо быстрее, чем через дискриминант.

Третий случай

Третий случай самый когда b и с равны нулю. В этом случае, оба корня всегда равны 0.

ax2=0ax2=0

ax^2=0

x1=0x1=0

x_1=0

x2=0x2=0

x_2=0

Обратите внимание на то, что в любом случае, для корней квадратного уравнения необходима проверка. Каждый из получившихся корней нужно подставить в исходное уравнение и подсчитать результат.

Для неполных уравнений это особенно важно, потому что все считают их легкими и не акцентируют внимание на подсчетах. Это может привести к разного рода ошибкам. Чаще всего, ученики путают знаки. Вместо + получается – и наоборот. Помните, что знаки это очень важно и за ними нужно следить при переносе и делении чисел. Проверить себя можно и подставив значения в приведенные в статье формулы.

Иногда коэффициент а может быть отрицательным. В этом случае, вам придется делить на отрицательное число. А значит – все знаки выражения поменяются на противоположные. Будьте внимательны в этих скользких моментах.

   

План-конспект урока

Алгебра

8 класс

Тема: Доказательство неравенств

Цель:

Образовательная: формирование умений доказательства неравенств, формирование

Этапы занятия:

Организационный момент.

Актуализация опорных занятий.

Усвоение новых знаний и действий.

Первичное закрепление знаний и действий.

Контроль и самопроверка знаний, рефлексия.

Подведение итогов занятий.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Организационный момент. Подготовка учащихся к работе на занятии.

2. Подготовка к основному этапу. Обеспечение мотивации, значимости изучаемой темы занятия и принятия учащимися учебно-познавательной деятельности, актуализация опорных знаний.

а) С неравенств сравниваются большие и малые величины;

b) Во С какого приема мы умеем доказывать неравенство вида aответ:

- Один из приемов доказательства неравенства ab) сводят к доказательству равносильного ему неравенства a-b<0 (a-b>0);

c) Повторим данное доказательство на примере неравенства Коши.

“Среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического”:



Доказать: 

Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства:



Неотрицательность квадрата любого вещественного числа очевидна.

Значит,   – верное неравенство.

3.

a) Во Попробуем сформулировать другой прием.

ответ (учитель ответить на во Другой прием состоит в том, чтобы показать, что данное неравенство является следствием некоторого очевидного неравенства:

(a-b)2  0, (a+b)2  0 или неравенства Коши   , при а0, b0, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел;

b) Докажем, что (a+b)(ab+1)  4ab, при а0, b0.

Доказательство: Рассмотрим a+b и ab+1.

Используем очевидное неравенство Коши:



второго множителя.



Перемножим получившиеся неравенства:



с) Так же используют следующий прием: предполагают, что данное неравенство верно при заданных значениях переменных, строят цепочку неравенств-следствий, приводящую к некоторому очевидному неравенству. Рассматривая затем эту цепочку неравенств снизу вверх, показывают, что данное неравенство является следствием полученного очевидного неравенства и потому верно при указанных значениях переменных.

Значит, доказательство (a+b)·(ab+1)  4ab, при а0, b0 можно выполнить другим Допустим, что при а0, b0 данное неравенство верно, т.е.:



Используя неравенство Коши дважды для каждого множителя, имеем:



Значит, (a+b)·(ab+1)  4ab, при а0, b0, что и требовалось доказать.

4. Докажем: 

Доказательство: Допустим, что данное неравенство верно.



Получили очевидное неравенство.

Значит, данное неравенство  верно.

Во Мы можем привести доказательство данного неравенства из очевидного неравенства (a+b-2)2  0?

ответ: Да, для этого сделаем обратные шаги (рассказать по готовой записи)

Объяснение:

как то так, неуверен