Вынесем общий множитель sin(t)cos(t) за скобку:
2sin(t)cos(t)[(1 - 2sin^2(t)) - 8] = 0.
Теперь имеем два уравнения:
1 - 2sin^2(t) - 8 = 0 и sin(t)cos(t) = 0.
Шаг 7: Решим первое уравнение:
-2sin^2(t) - 7 = 0.
Перенесем -7 на другую сторону:
-2sin^2(t) = 7.
Избавимся от отрицательного множителя, поменяв знак у обеих частей:
2sin^2(t) = -7.
Разделим обе части на 2:
sin^2(t) = -7/2.
Однако, значение -7/2 не может быть квадратом синуса, так как sin^2(t) всегда положительно или равно нулю. Следовательно, это уравнение не имеет решений.
Шаг 8: Перейдем ко второму уравнению: sin(t)cos(t) = 0.
Из этого уравнения можем найти точки, где функция достигает экстремума. Так как sin(t) и cos(t) являются тригонометрическими функциями, то они равны нулю в следующих точках:
- sin(t) = 0 => t = 0, π, 2π, ...
- cos(t) = 0 => t = π/2, 3π/2, 5π/2, ...
Шаг 9: Теперь найдем значения функции f(t) в найденных точках t:
Мы можем продолжать вычисления значения функции f(t) для каждой найденной точки t и выбрать наименьшее и наибольшее значения из них.
Таким образом, наименьшее и наибольшее значения функции f(t) будут равны 4.
Обратите внимание, что так как мы не нашли значения t, для которых функция f(t) достигает экстремумов, мы определили, что минимальное и максимальное значение f(t) равно 4 при любом значении t.
Шаг 1: Вначале рассмотрим выражение cos^2t*tg^2t. Для удобства заменим тангенс на синус и косинус: cos^2t*sin^2t.
Шаг 2: Заметим, что cos^2t + sin^2t = 1. Таким образом, выражение cos^2t*sin^2t можно заменить на (1 - sin^2t)*sin^2t.
Шаг 3: Раскроем скобки: (1 - sin^2t)*sin^2t = sin^2t - sin^4t.
Шаг 4: Теперь выражение f(t) принимает вид: f(t) = (sin^2t - sin^4t) + 8cos^2t - 4.
Шаг 5: Давайте найдем производную функции f(t), чтобы найти точки экстремума.
Для этого, возьмем производные каждого слагаемого отдельно:
d/dt(sin^2t - sin^4t) = 2sin(t)cos(t) - 4sin^3(t)cos(t) = 2sin(t)cos(t)(1 - 2sin^2(t));
d/dt(8cos^2t) = -16cos(t)sin(t);
d/dt(-4) = 0.
Шаг 6: Приравняем производную к нулю и решим получившееся уравнение:
2sin(t)cos(t)(1 - 2sin^2(t)) - 16cos(t)sin(t) = 0.
Вынесем общий множитель sin(t)cos(t) за скобку:
2sin(t)cos(t)[(1 - 2sin^2(t)) - 8] = 0.
Теперь имеем два уравнения:
1 - 2sin^2(t) - 8 = 0 и sin(t)cos(t) = 0.
Шаг 7: Решим первое уравнение:
-2sin^2(t) - 7 = 0.
Перенесем -7 на другую сторону:
-2sin^2(t) = 7.
Избавимся от отрицательного множителя, поменяв знак у обеих частей:
2sin^2(t) = -7.
Разделим обе части на 2:
sin^2(t) = -7/2.
Однако, значение -7/2 не может быть квадратом синуса, так как sin^2(t) всегда положительно или равно нулю. Следовательно, это уравнение не имеет решений.
Шаг 8: Перейдем ко второму уравнению: sin(t)cos(t) = 0.
Из этого уравнения можем найти точки, где функция достигает экстремума. Так как sin(t) и cos(t) являются тригонометрическими функциями, то они равны нулю в следующих точках:
- sin(t) = 0 => t = 0, π, 2π, ...
- cos(t) = 0 => t = π/2, 3π/2, 5π/2, ...
Шаг 9: Теперь найдем значения функции f(t) в найденных точках t:
Для t = 0:
f(0) = (sin^2(0) - sin^4(0)) + 8cos^2(0) - 4 = (0 - 0) + 8 - 4 = 4.
Для t = π:
f(π) = (sin^2(π) - sin^4(π)) + 8cos^2(π) - 4 = (0 - 0) + 8 - 4 = 4.
...
Мы можем продолжать вычисления значения функции f(t) для каждой найденной точки t и выбрать наименьшее и наибольшее значения из них.
Таким образом, наименьшее и наибольшее значения функции f(t) будут равны 4.
Обратите внимание, что так как мы не нашли значения t, для которых функция f(t) достигает экстремумов, мы определили, что минимальное и максимальное значение f(t) равно 4 при любом значении t.